POJ 2992

POJ 2992

[题目大意]

求组合C(n,k)的全部因子个数。

[核心要点]（数论基本知识）

第一：C(n,k) = n! / k! / (n - k )!

无需证明，可自己推导

第二：对于所有正整数n，都可按素因子分解为n=p1^a1*p2^a2*....*pk^ak（其中pi均为素数），那么n的约数的个数为（a1+1）(a2+1)...(ak+1)；

例如：12 = 2 ^ 2 * 3 ; 12 的约数个数有（2 + 1） * （1 + 1） = 6个（1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，12）；

（不会证明qaq） 

第三：对于一个素数p，n！中按素因子分解，p的幂为 n/p+n/p^2+n/p^3...，其中/为整除；

即，ai = n/pi+n/pi^2+n/pi^3...

例如：4！（24 ) = 2 ^ 3 * 3 ；其中，2的幂次为 4 / 2 + 4 / 2 ^ 2 = 3 ； 3的幂次为 4 / 3 = 1；

（不会证明qaq）

第四：基于以上第三点，推导如下：

设n!中素因子p的个数为：a=n / p+n / (p^2)+...+n / (p^k)+...

那么(n/p)!中素因子p的个数为：b = n/(p^2)+...+n/(p^k)+...

很显然a=b+n/p，因此可以利用上述递推公式预处理出所有的j!中每个素因子的个数。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>

typedef long long ll;

using namespace std;

const int N = 500; 
 
bool Prime[N];
int jie[N][90];
ll zu[N][N];
int Primer[N],num;

//在Prime[500]打素数表 
void GetPrime()
{
    for(int i = 2; i <= 431; ++i)
        Prime[i] = true;
    for(int i = 2; i <= 431; ++i)
    {
        if(Prime[i])
        {
            for(int j = i+i; j <= 431; j+=i)
                Prime[j] = false;
        }
    }
    num = 0;
    for(int i = 0; i <= 431; ++i)
    if(Prime[i])	Primer[num++] = i;
}
 
void solve()
{
    //阶乘分解为 素因子相乘的形式jie[j][i]表示 j! 第i个素数的幂为多少
    for(int i = 0;i < num; ++i)
        for(int j = 2; j <= 431; ++j)
            jie[j][i] = j/Primer[i] + jie[j/Primer[i]][i];
 
    for(int i = 2; i <= 431; ++i)   //计算因子个数
    {
        for(int j = 1; j < i; ++j)
        {
            zu[i][j] = 1;
            for(int k = 0; k < num && jie[i][k]; ++k)
            {
                int side = jie[i][k] - jie[j][k] - jie[i-j][k]; //计算C(i,j)中第i个素数的幂为多少
                if(side)
                    zu[i][j] *= (side+1);   //求因子个数
            }
        }
    }
}
 
int main()
{
    GetPrime();
    solve();
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        if(m==0 || m==n)
            printf("1
");
        else
            printf("%I64d
",zu[n][m]);
    }
 
    return 0;
}

[Reference]

https://blog.csdn.net/lianai911/article/details/44598155#commentBox   https://blog.csdn.net/u011008379/article/details/20408063

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