题目描述
给定由若干 0 和 1 组成的数组 A。我们定义 N_i：从 A[0] 到 A[i] 的第 i 个子数组被解释为一个二进制数（从最高有效位到最低有效位）。
返回布尔值列表 answer，只有当 N_i 可以被 5 整除时，答案 answer[i] 为 true，否则为 false。
示例
输入：[0,1,1]
输出：[true,false,false]
解释：
输入数字为 0, 01, 011；也就是十进制中的 0, 1, 3 。只有第一个数可以被 5 整除，因此 answer[0] 为真。
输入：[1,1,1]
输出：[false,false,false]
输入：[0,1,1,1,1,1]
输出：[true,false,false,false,true,false]
输入：[1,1,1,0,1]
输出：[false,false,false,false,false]
提示：
- 1 <= A.length <= 30000
- A[i] 为 0 或 1
解题思路
暴力破解
如已知A=[0,1,0]，变换 B=['0', '1', '0']，变换C=['0', '01', '010']，之后将C中每个值进行判断即可。
- 优点：简单直接，不存在思路上的困难；
- 缺点：解法不论是在空间还是时间上不占优；
class Solution:
def prefixesDivBy5(self, A: List[int]) -> List[bool]:
List = A # 初始化List
str_A = [str(i) for i in A] # 将A转换成字符串数组
if A[0] == 0: # 判断第一个数字是否符合
List[0] = True
else: List[0] = False
if len(str_A) == 1:
return List
else:
str_res = str_A # str_res初始化
str_res[0] = str_A[0]
for j in range(1, len(str_A)):
str_res[j] = str_res[j-1] + str_A[j]
int_res = int(str_res[j],2)
if int_res % 5 == 0:
List[j] = True
else: List[j] = False
return List
数学分析
在进行代码优化前，我们先从数学角度进行分析，会得出如下结论：
设(N_i)为A中从下标0到下标i构成的二进制数，则有：
- (N_0 = A[0])
- (N_i = N_{i-1} *2 + A[i], i>0)（这是二进制的左移性质）
所以，我们可以将上面“数字-字符串-数字”的过程变成上面递推公式的计算。但是这个思路存在的问题：考虑到数组A可能很长，如果每次都保留(N_i)的值，则可能导致溢出。
解决方案：(M_i=N_i mod 5=(N_{i-1} *2 + A[i])mod5=(M_{i-1} *2 + A[i])mod5)，即可以用余数代替N完成运算。
在上面思路的基础上，代码如下：
class Solution:
def prefixesDivBy5(self, A: List[int]) -> List[bool]:
ans = list()
prefix = 0
for num in A:
prefix = ((prefix << 1) + num) % 5
ans.append(prefix == 0)
return ans
prefix初始化为0，0<<1左移的结果仍然是0。
思路总结
本题侧重于数学分析，如果分析不到位，会出现两种情况：
- 使用(N_{i-1}*2)去递推得到(N_i)的值，最后因为数值过大造成溢出；
- 当作字符串处理（暴力破解法），尽管没有溢出问题，但是性能不佳。