Uva1639（概率期望/对数处理避免丢失精度）

Uva1639

题意：

有两个盒子各有n个糖果(n<=200000)，每天随机选择一个：选第一个盒子的概率是p（0 ≤ p ≤ 1），第二个盒子的概率为1-p，然后吃掉其中的一颗。直到有一天，随机选择一个盒子打开一看，没糖了！现在请你计算另一个盒子里剩下的糖果数量的期望值。

解法：

我们假设到第n天的时候取得是第1个盒子的糖，此时第2个盒子有i颗糖，则在此之前打开了n+(n-i)次盒子， 其中n次打开了第一个盒子，(n-i)次打开了第二个盒子，则概率是C(2n-i,n)*p^(n+1)*(1-p)^n-i。

由于n高达20w，所以二次项系数会非常大，而后面的概率会非常小，所以如果直接计算会爆精度，所以这里我们用求对数的方法进行计算

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long double lb;
const int maxn = 2e5 + 5;
long double logF[2 * maxn + 66];

void generate() {
    //预处理出n!的log值
    logF[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= maxn; i++)
        logF[i] = logF[i - 1] + log(i);
}
// C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)
long double logC(int n, int m) {
    return logF[n] - logF[m] - logF[n - m];
}

int main() {
    int n; double p;
    generate();
    int kase = 1;
    while (scanf("%d%lf", &n, &p)!=EOF) {
        double ans = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            long double v1 = logC(2 * n - i, n) + (n + 1)*log(p) + (n - i)*log(1 - p);
            long double v2 = logC(2 * n - i, n) + (n + 1)*log(1 - p) + (n - i)*log(p);
            ans += (i*(exp(v1) + exp(v2)));
        }
        printf("Case %d: %.6lf
", kase++, ans);
    }
    return 0;
}