UVA 11300 Spreading the Wealth

题意是一个圆桌上面做了n个人，每个人手头上有不同数目的金币（每个人手头的金币数目已知），然后他们需要通过相互交换来使得大家手头上面的金币数目相等，求最少流通值。

白书上面用了一个非常强劲的代数做法，觉得这个思想还是需要学习一下的。

因为人数和总的金币数是确定的，而且题目确保了一定除得进，所以最终情况下每个人手头的钱币数量是确定的，设为M，把人编号1,2,3,4，..n，设xi为编号i-1的人给编号为i的人的金币数，我们最终要求的值即为|x1|+|x2|+…+|xn|，Ai为每个人初始状况下手头的钱币数，有

A1+x1-x2=M → x2=A1-M+x1
A2+x2-x3=M → x3=A2-M+x2 → x3=A2-M+A1-M+x1

A3+x3-x4=M → x4=A3-M+x3 → x4=A3-M+A2-M+A1-M+x1

….

An+xn-x1=M → x1=An-M+…..A1-M+x1

设Ci为M-Ai即每个人手头的金币数和期望数目的差值,Si=C1+C2+…+Ci，那么上面的式子可以化为

x2=x1-S1

x3=x1-S2

x4=x1-S3

……

xn=x1-Sn-1

x1=x1-Sn 即Sn=0这个结论显然是对的

现在|x1|+|x2|+|x3|+….+|xn|=|x1-S1|+|x1-S2|+|x1-S3|+|x1-S4|+…..+|x1|

抽象转化为这么一个问题，数轴上面有一串点，我们要找一个点x1使得这个点到数轴上所有已有点的距离最小，并求出这个距离。

结论是这个点是中位数。可以先猜测后证明，证明很简单，讨论n，若n为奇数，那么最后取得点是最中间的点，两边各有(n-1)/2个点，如果移动一个很小的量d，那么必然新的点两边的点的数目不相等了，必定比原来大d，因此最优就不成立了。而n为偶数的时候，中位数是最中间两个点的中间，如果移动这个点，只要没有越过最中间两个点的任意一个，那么总距离的值不会发生变化，如果越过了任意一个，必定导致两边的点数不相等，总距离值变大。因此的证，x1就应该是数列S1,S2,….Sn的中位数，然后计算|x1-S1|+|x1-S2|+|x1-S3|+|x1-S4|+…..+|x1|就好

解这道题目用的代数思路非常的巧妙，不看书我实在是想不出来。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int maxn = 1000001;
int A[maxn];
LL C[maxn];

int main() {
	int n;
	while(~scanf("%d",&n)) {
		LL sum = 0,ans = 0,std;
		for(int i = 0;i < n;i++) {
			scanf("%d",&A[i]);
			sum += A[i];
		}
		sum /= n; C[0] = A[0] - sum;
		for(int i = 1;i < n;i++) C[i] = A[i] - sum + C[i - 1];
		sort(C,C + n);
		if(n & 1) std = C[n / 2];
		else std = (C[n / 2] + C[n / 2 - 1]) / 2;
		for(int i = 0;i < n;i++) ans += abs(std - C[i]);
		printf("%lld
",ans);
	}
	return 0;
}