知识点简单总结——Lyndon分解

知识点简单总结——Lyndon分解

Lyndon串

定义：一个字符串的最小后缀就是整个串本身。

等效理解：这个串为其所有循环表示中最小的。

Lyndon分解

定义：将字符串分割为 $ s_{1} s_{2} ... s_{k} $ 任意段使得每一段都是Lyndon串且 $ forall i < j , s_{i} ge s_{j} $ 。

引理一：若 $ u < v $ 且 $ u , v $ 均为Lyndon串，则 $ uv $ 为Lyndon串。

关于证明，它咕了。

引理二：Lyndon分解存在且唯一。

存在性：全部分成单个字符后利用引理一合并。

唯一性：假设存在两种Lyndon分解分别为

$ s_1 s_2 ... s_{i} s_{i+1} ... $

$ s_1 s_2 ... s_{i} ' s_{i+1} ' ... $

不妨设 $ | s_{i} | > | s_{i} ' | , s_{i} = s_{i} ' s_{i+1} ' ... s_{k} ' [ 1...l ] $ ， 其中 $ s_{k} ' [ 1...l ] $ 为这这一部分串的非空前缀。

有 $ s_{i} < s_{k} ' [ 1...k ] le s_{k} ' le s_{i} ' < s_{i} $ ，矛盾。

引理三：若有字符串 $ v $ ，字符$ c , d $ ， $ d > c $ ，且 $ vc $ 为一个Lyndon串的前缀，则有 $ vd $ 为Lyndon串。

关于证明，它也咕了。

求Lyndon分解

可以用单调栈或者后缀数组啥的，但是复杂度不够好。

Duval算法

维护三个指针 $ i,j,k $

表示 $ s [ 1 , i - 1 ] $ 已经划分完了

$ s [ i , k - 1 ] $ 是一个Lyndon串 $ t $ 的周期循环 $ t^{g} + v $ （ $ v $ 是 $ t $ 的前缀）周期 $ t = k - j $ ，且保证 $ s [ i , k - 1 ] $ 小于前面已经划分好的串。

分情况讨论：

$ s[k] == s[j] $ ：周期不变， $ j++ , k++ $ 。
$ s[k] > s[j] $ ：根据引理三可知 $ v + s[k] $ 是Lyndon串，向前合并使得 $ s[i,k] $ 变成新的Lyndon循环节， $ j=i , k++ $ 。
$ s[k] < s[j] $ ：将循环节逐个固定成划分结果。

以下是洛谷P6114 【模板】Lyndon 分解的代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace RKK
{
char s[5000011];int n;
int prt[5000011],pc;
int main()
{
	scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1);
	int i=1,j,k,ans=0;while(i<=n)
	{
		for(j=i,k=i+1;k<=n&&s[k]>=s[j];k++) s[k]>s[j]?j=i:j++;
		while(i<=j) ans^=i+k-j-1,prt[++pc]=i+k-j-1,i+=k-j;
	}
	printf("%d
",ans);
	// for(int i=1;i<=pc;i++) printf("%d ",prt[i]);putchar('
');
	return 0;
}
}
int main(){return RKK::main();}

应用：

我基本没看到过用Lyndon分解的题。

随便来一个：CF594E Cutting the Line