拓扑排序+不是字典序的优先级排列（POJ3687+HDU4857）

一、前言

        在过去的一周里结束了CCSP的比赛，其中有一道题卡了我9个小时，各种调错都没法完整的调处来这题，于是痛下决心开始补题，这个是计划的一部分。事实上，基于错误的理解我写了若干发拓扑排序+字典序的算法，但是集体统一GG，最后发现，实际上要求设计的并不是严格意义上的最小字典序，而是“最小的必然放在最大的之前”这种看上去很类似但是时至完全不一样的说法。而这也是为什么，正想建树GG但是反向建树，用大顶堆来找最大的思路是正确的。这实际上等价于，“寻找最大字典序并且反向输出”这个过程。

首先看一组样例

1

3 1

3 1
        对于改组样例，有约束——3必须在1前面，因为如果有最小字典序正想输出的算法就会得到2 3 1。但是这个数据明显的违反了题目对于顺序的规约——“如果存在一个1，能够在2前面，那么就必须把1放到2前面，在这之后，如果还有2能够放在3前面，就必须把2放到3前面”。于是我们直觉上认为，这种说法其实等价于，首先把所有可能的最大值全放到最后，用以保证不会有任何一个合法的小数放到大数的后面。正确的做法是，2 1 3（逆向输出是3，1，2）。这种方法从玄学上保证了输出“依照题目意思有序”。

二、思路和相关优化

        思路简单的讲就是拓扑排序过程中，通过检测是否有新的元素已经可以被当做随时可以加入队列的元素，如果有，就加入优先队列，如果没有就继续。

        一般来说，使用字典序输出拓扑排序是一件很简单的事情。对比了网上其他人写的代码，我们可以直观的认为至少有如下几种优化方式：

1. 使用邻接表来存储具体的边信息而不是邻接矩阵。（可以证明，使用vector作为邻接表插入N条边的时间期望应当是O(N)）
2. 使用优先队列、multiset来从集合中选取最大最小的元素
3. 使用CNT[]数组来记录该点被指向的次数，之后在topsort当中通过对cnt数组相应元素的判断来确定这个值是不是等于零

三、通用AC代码

POJ3687

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;

const long long MAXN=30233;

vector<int>G[MAXN];
int cnt[MAXN];
long long n,m;

int vis[MAXN];
bool dfs(int now)
{
    vis[now]=1;
    int len=G[now].size();
    for(int i=0;i<len;++i)
    {
        int tar=G[now][i];
        if(vis[tar]==1)return true;
        if(vis[tar]==0&&dfs(tar))return true;
        
    }vis[now]=2;
    return false;
}
bool check_circle()
{
    memset(vis,0,sizeof(int)*(n+5));
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        if(vis[i]==0&&dfs(i))return true;
    }return false;
}
int ans[MAXN];
void topSort()
{
    priority_queue<int>q;
    int summ=n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        if(cnt[i]==0)q.push(i);
    }
    while(!q.empty())
    {
        int now=q.top();q.pop();
        int len=G[now].size();
        ans[now]=summ--;
        for(int i=0;i<len;++i)
        {
            int tar=G[now][i];
            cnt[tar]--;
            if(cnt[tar]==0)q.push(tar);
        }
    }
}

void init()
{
    memset(cnt,0,sizeof(int)*n+233);
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<=n;++i)
    {
        G[i].clear();
    }
    for(int i=0;i<m;++i)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        G[b].push_back(a);
        cnt[a]++;
    }
    if(check_circle())
    {
        cout<<"-1
";
        return ;
    }
    topSort();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        cout<<ans[i]<<" ";
    }cout<<endl;
}

int main()
{
    cin.sync_with_stdio(false);
    int ca;
    cin>>ca;
    while(ca--)init();
    
    return 0;
}

HDU4857

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;

const long long MAXN=30233;

vector<int>G[MAXN];
int cnt[MAXN];
long long n,m;

int vis[MAXN];
bool dfs(int now)
{
    vis[now]=1;
    int len=G[now].size();
    for(int i=0;i<len;++i)
    {
        int tar=G[now][i];
        if(vis[tar]==1)return true;
        if(vis[tar]==0&&dfs(tar))return true;
        
    }vis[now]=2;
    return false;
}
bool check_circle()
{
    memset(vis,0,sizeof(int)*(n+5));
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        if(vis[i]==0&&dfs(i))return true;
    }return false;
}
int ans[MAXN];
void topSort()
{
    priority_queue<int>q;
    int summ=n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        if(cnt[i]==0)q.push(i);
    }
    while(!q.empty())
    {
        int now=q.top();q.pop();
        int len=G[now].size();
        ans[summ--]=now;
        for(int i=0;i<len;++i)
        {
            int tar=G[now][i];
            cnt[tar]--;
            if(cnt[tar]==0)q.push(tar);
        }
    }
}

void init()
{
    memset(cnt,0,sizeof(int)*n+233);
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<=n;++i)
    {
        G[i].clear();
    }
    for(int i=0;i<m;++i)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        G[b].push_back(a);
        cnt[a]++;
    }
    if(check_circle())
    {
        cout<<"-1
";
        return ;
    }
    topSort();
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        cout<<ans[i]<<" ";
    }cout<<ans[n]<<endl;
}

int main()
{
    cin.sync_with_stdio(false);
    int ca;
    cin>>ca;
    while(ca--)init();
    
    return 0;
}