距离最长的有序对问题

问题描述：

　　给定一个无序数组A[0..N-1]，求出它的最长子串A[j..k]，满足Aj < Ak。

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算法0：
　　直接枚举j、k，时间复杂度是O(n^2)。

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算法1：
　　注意到一个性质，对于子串A[i..j..m]，如果有Ai <= Aj，那么A[i..j..m]必然优于A[j..m]，j就不可能是起始点。所以所求子串的起始点j必然满足Ai > Aj (i < j)，以下是求出所有起始点的算法：

head_pos = [0]
min = A[0]
    for i in range(1..N):
        if A[i] < min:
            head_pos.append(i)
　　　  min = A[i]

　　可以发现，所求出的起始点数组实际上是以A[0]开始的一个单调递减序列。
 　　接下来问题就变得简单了，我们只要枚举子串的终止点k，并找出第一个满足A[j] < A[k]的起始点j即可，由于head_pos的单调性，我们可以用二分查找在O(logn)时间内找出j，于是整个算法的复杂度为O(nlogn)，辅助空间为O(n)。

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算法2：
　　首先构造出所有下标值的排序数组P[0..N-1]，使得A[P[j]] <= A[P[k]] (j < k)，构建算法如下：
　　　　1. 令P[0..N-1] = 0, 1, 2, ..., N-1
　　　　2. 根据S[P[i]]的值对P进行排序

　　上面的排序如果使用计数排序的话，构建排序数组的复杂度为O(n)。
　　于是问题转变为：在排序数组P中找出(Pi - Pj) 的最大值（i < j 并且 A[Pi] != A[Pj]），这一步也可以在O(n)内解决：

minp = P[0]
minl = 0
for i in range(1..N):
    if P[i] < P[minp]:
        minp = P[i]
    else:
        minl = min(minl, P[i] - minp)

　　于是算法总复杂度为O(n)，辅助空间O(n)。