二叉树是树结构中的重要概念，一些特殊的二叉树如满二叉树和完全二叉树由于节点序号的特殊关系，在一些算法中十分常见。
这篇文章将从三个方面介绍有关二叉树的知识点：
(1) 普通有序树转化为二叉树。
(2) 计算二叉树路径。
(3) 通过两种遍历确定二叉树结构。
一．普通有序树转化为二叉树
其实不仅限于有序树，森林转化成二叉树也是利用了这里给出的方法。
左子女-右兄弟法:
1) T中节点与T’中一一对应，即T中每一个节点的序号的值在T’中保持不变。
2) T中某节点v的第一个儿子节点为v1，则在T’中v1为对应节点v的左儿子。
3) T中节点v的儿子序列(即v1节点的兄弟序列)，在T’中依次链接成一条开始与v1的右链。
Ex1(poj3437):
用du字符串的形式(d是down的缩写，u是up的缩写，该字符串描述了先序遍历有序树的方向变化，间接描述的树结构)表征，现在要求我们求解有序树的高度及其转化成二叉树后的高度。
首先我们明确一个知识点，根据普通有序树转化成二叉树的方法，我们可以得到这样一个公式：对于节点x及其在有序树中的父节点y，我们设level(i)代表节点i在二叉树中的层次(根节点是第0层)，那么有level(x) = level(y) + son_th.其中son_th表示x是y的第几个儿子。因此我们在算法设计中，首先递归设计算法统计有序树的层数，中间设置变量tempson来记录当前节点是其有序树中的父节点中的第几个儿子，顺便就可以求出二叉树的层次。
代码如下：
#include<cstdio> #include<string> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; string s; int i , n = 0 , height1 , height2; void work(int level1 , int level2){//递归计算树高,每次函数调用表示我们在两种树种遍历到同一节点，这一节点在有序树和二叉树中的层次分别是level1 , level2 int tempson = 0;//该节点的儿子序列计数器置零 while(s[i] == 'd'){//如果当前方向向下，说明有儿子 i++; tempson++; work(level1 + 1 , level2 + tempson);//基于儿子节点递归调用函数 } //完成了该节点所有子节点的递归函数调用，维护层数最大值 height1 = max(height1 , level1); height2 = max(height2 , level2); i++; } int main(){ while(cin >> s && s != "#"){ i = height1 = height2 = 0; work(0 , 0); cout << "Tree "<<++n<<":"<<height1 <<" => "<<height2<<endl; } }
二.计算二叉树的路径
在一些题目中往往要求我们在二叉树中的某条路径上行遍以获得一些信息。完全二叉树就是一种非常利于我们行遍路径的结构。设我们有n节点的完全二叉树，且姐弟拿笔拿好是从上而下从左而右递增分布的，则任意分支节点i的父节点是floor((i-1)/2);若节点i有左儿子则左儿子的节点序号是2i+1，若节点i有右儿子，则节点序号为2i+2.
Ex1:
假设我们有一个二叉树，根节点标识为(1,1)，其左儿子被标识为(2 , 1),右节点被标识为(1,2)。抽象得说，若一个节点的标识为(a , b),则其左儿子的标识为(a + b , b),右儿子标识为(a , a+b).那么现在给出一个节点的标识(a , b)，编程计算这个这个节点相对于根节点(1 ,1)向左移动了多少步，向右移动了多少步。
这里实际上就是给出了一种二叉树路径的一种生成机制。我们从已知标识的(a,b)开始分析。如果a>b,则显然一定是之前的某些节点向左移动了若干步，朴素来讲，我们基于(a,b)，其父节点是(a – b , b)，如果依然满足a-b > n，那么在走到其父节点(a – b – b ,b)。这一迭代扩成可以概括为:
If(a > b){
up = floor((a – 1 )/b).某个节点连续往左儿子走up步走到(a,b)
left += up;//更新
a -= up*b. //此时a一定是b的剩余系。但是a不会等于0，这也是为什么用(a-1)/b而不用a/b的原因。
}
对称的，b>a的情形也是一样，经过多次迭代运算，知道a = b = 1,说明路径已经行遍到了根节点。
参考代码如下：
#include<cstdio> #include<string> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; string s; int i , n = 0 , height1 , height2; void work(int level1 , int level2){//递归计算树高,每次函数调用表示我们在两种树种遍历到同一节点，这一节点在有序树和二叉树中的层次分别是level1 , level2 int tempson = 0;//该节点的儿子序列计数器置零 while(s[i] == 'd'){//如果当前方向向下，说明有儿子 i++; tempson++; work(level1 + 1 , level2 + tempson);//基于儿子节点递归调用函数 } //完成了该节点所有子节点的递归函数调用，维护层数最大值 height1 = max(height1 , level1); height2 = max(height2 , level2); i++; } int main(){ while(cin >> s && s != "#"){ i = height1 = height2 = 0; work(0 , 0); cout << "Tree "<<++n<<":"<<height1 <<" => "<<height2<<endl; } }