《训练指南》——6.9

Uva11137：

  立方体之和：输入正整数n(n≤10000)，求将n写成若干个正整数的立方体之和有多少种方法。

  分析：这道题目其实就是基于递推的一道动态规划题目了，我们建立记录多状态的多段图，利用d[i][j]来表示立方数的底数不超过i且最终和为j的方法数，结合n的取值，有21^3 > 10000,因此这里的最终答案便是d[21][n].

  下面我们面临的问题就是如何求解d[i][j]，即寻求递推关系。对于d[i][j]，我们分成如下的两种情况：

(i)和式当中最大的底数是i-1，则有d[i-1][j]种情况。

(ii)和式当中最大的底数是i，则有d[i][j-i^3]种情况。

可以看到，d[i][j]基于的子状态两个维度的参数都小于或等于i、j，这放在动态规划当中，叫做无后效性。

 #include<cstdio>

#include<cstring>

using namespace std;

 

int main()

{

 

     long long d[23][10005];

     memset(d , 0 , sizeof(d));

       d[0][0] = 1;

     for(int i = 1;i < 23;i++)

          for(int j = 0;j < 10005;j++)

            {

            if(j-i*i*i >= 0)

               d[i][j] = d[i-1][j] + d[i][j-i*i*i];

            else

               d[i][j] = d[i-1][j];

            }

 

           // printf("%d
",d[1][0]);

 

    int n;

    while(scanf("%d",&n) != EOF)

    {

         printf("%lld
",d[22][n]);

    }

 

}

Uva11375(需要高精度，还没有A)：

  火柴：用n(1≤n≤2000)根能够组成多少个非负整数？

  分析：我们设置d[i]恰好用i根火柴摆出不同的非负整数的个数。F[n]是本题结果，则显然有F[n] = ∑d[i]。因此现在我们面临的问题是如何计算d[n]。

  我们用c[x]记录拼出个位数x所需要的火柴数目，那么现在考察d[n]中的所有情况，为了便于找到递推关系，我们都去掉每一个整数的个位，这样我们能够找到如下的状态转移方程，或者说是递推方程：

  d[n] = ∑d[n-c[i]],i∈[0,9].

  但是在编码实现的时候，并不是线性得求出d[1],d[2]…d[n]，而是动态的更新d[1]、d[2]…的值，从状态转移方程中能够看出，d[n]需要基于更小规模的子问题d[n-c[i]]，因此这里我们首先设置一层循环遍历1~n作为d[]下标的参数，然后再进行“添加尾数”的操作，这样就有如下的状态转移方程：

  for i 0 to maxn

for j 0 to 9

  d[i+c[j]] += d[i]

简单的参考代码如下(Ps原题结果较大应用高精度运算)：

#include<cstdio>

#include<cstring>

using namespace std;

const int maxn = 2005;

int main()

{

    int c[10] = {6,2,5,5,4,5,6,3,7,6};

    int d[maxn];

    memset(d , 0 , sizeof(d));

    d[0] = 1;

    for(int i = 0;i < maxn;i++)

          for(int j = 0;j < 10;j++)

             if(!(i==0 && j==0) && i + c[j] < maxn)

              d[i+c[j]] += d[i];

    int n;

       

    while(scanf("%d",&n) != EOF)

    {

          int sum = 0;

          for(int i = 1;i <= n;i++)

               sum += d[i];

        printf("%d
",sum);

    }

 

   // printf("%d %d %d %d",d[2],d[3],d[4],d[5]);

}