这一篇文章开始讨论有关二项式系数的一系列问题。
基本恒等式：
所谓二项式系数，其实就是我们表示组合情况用到的符号：C(n,k)，n称其上指标，k为下指标。而之所以将其称为二项式系数，是因为它和后面的二项式定理有着紧密的联系。
一般展开式：
我们先从C(n,k)的内涵出发，众所周知，它表示从n个元素取出k个元素的情况数。通过其表征的组合含义，我们来寻求它的计算公式。
我们按照顺序取出k个元素，由基本的组合原理，有n*(n-1)*(n-1)……3*2*1种情况，由于这个过程我们外加了”一定顺序“这个条件，因此在所有情况的基础上应该除以k的阶乘，用以消除这种顺序，即C(n,k) = n*(n-1)*(n-2)*……*3*2*1 / k! ①
阶乘展开式：
结合一些代数技巧，我们可以将其写成阶乘的形式，C(n,k) = n! / k! * (n-k)! ②
进一步来看，我们如果把②右式提出一个n/k，会发现(n-1)!/(k-1)! * [(n-1) - (k-1)]!可以转化成另外一个二项式系数C(n-1,k-1),即有如下的恒等式成立。
吸收/提取恒等式：
C(n,k) = n/k*C(n-1,k-1) ③
基于恒等式③，我们来证明这样一个下标不变的另一个恒等式：(n-k)C(n,k) = nC(n-1,k) ④
在证明④之前，我们需要知道的是，二项式系数存在“对称性”。
对称恒等式：
即C(n,k) = C(n,n-k) ⑤
这很好理解，从组合意义的角度来看，对于C(n,k)种取k个元素的情况，都一一对应这剩下的n-k个元素，因此情况数是相同的。
那么我们开始④证明：(n-k)C(n,k) = (n-k)C(n,n-k)
=nC(n-1,n-k-1)
=nC(n-1,k)
加法/归纳恒等式：
其实研究而二项式系数是离不开杨辉三角的，通过观察我们会很容易发现它的一条性质，每个数字等于它“肩膀”上的两个数字之和，即用数学语言表达，有恒等式C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1) ⑥
通过组合意义我们会非常好理解这条恒等式为什么成立，假设我们想知道从n个鸡蛋中拿出k个鸡蛋的方法数，n个鸡蛋中有1个坏鸡蛋，那么所有方法数可以分成如下两种情况：
该方法中没有拿这个坏鸡蛋，则有C(n-1,k)种情况。
该方法中拿了这个坏鸡蛋，则有C(n-1,k-1)种情况。
故有恒等式⑥成立。本质上讲，这个恒等式给出了生成杨辉三角各个数字的递推关系。
那么现在利用这个恒等式，我们将C(r+n+1,n)展开。
即有C(r+n+1,n) = C(r+n,n)+C(r+n,n-1)
=C(r+n,n) +C(r+n-1,n-1) + C(r+n-1,n-2)
=……
=C(r+n,n) + ......+C(r+1,1) + C(r,0)
=∑C(r+k,k),k ∈[1,n] ⑦
我们不难看出这个过程中的模式，即利用加法恒等式展开的过程中，利用加法恒等式先展开下指标较小的项。那么下面我们反过来，从下指标较大的开始。
上指标求和恒等式：
C(n+1,m+1) = C(n,m+1) + C(n,m)
=C(n-1,m+1)+C(n-1,m)+C(n,m)
=......
=C(0,m) + C(1,m) + C(2,m) + ......C(n,m)
= ∑C(k,m),k∈[0,n] ⑧
上指标反转恒等式：
我们考察C(n,k) = n(n-1)...(n-k+1) / k!，我们来将分子做一个有意思的变换，n(n-1)...(n-k+1) = (-1)^k*(k-n-1)(k-n-2)...(1-n)(-n) = (-1)^k*C(k-n-1,k),由此我们即可得出如下的恒等式。
C(n,k) = C(k-n-1,k) * (-1)^k ⑨
为了验证这个恒等式的正确性，我们对C(n,k)进行一次上指标反转，即C(n,k) = C(k-n-1,k)* (-1)^k 。
我们继续对右式进行一次上指标反转，有C(k-n-1,k)* (-1)^k = C(k-(k-n-1)-1,k) * (-1)^2k = C(n,k)。可以看到，对C(n,k)进行两次上指标反转的转换，结果变成了C(n,k)本身，这足以作证恒等式本身逻辑的自洽性。
那么我们基于这个恒等式进行更进一步的推导。
对于(-1)^m * C(-n-1,m) , 我们进行上指标反转(自右向左)，有(-1)^m * C(-n-1,m) = C(m+n,n)。
对于(-1)^n * C(-m-1,n) , 我们进行上指标反转(自右向左)，有(-1)^n * C(-m-1,n) = C(m+n,n).
所以有恒等式(-1)^m * C(-n-1,m) = (-1)^n * C(-m-1,n)成立。 ⑩
如果结合恒等式⑦，我们还可以化简带有∑和(-1)^k的二项式系数。
∑C(r,k) * (-1)^k = ∑C(k-r-1,k) = C(n-r,n) = (-1)^n * C(r-1,n) , k<= n。
即∑C(r,k) * (-1)^k = (-1)^n * C(r-1,n) , k<= n。
三项式版恒等式：
C(n,m) * C(m,k) = C(n,k) *C(n-k,m-k) ⑪
证明：C(n,m) * C(m,k) = n!/(n-m)!*m! * m!/(m-k)!*k! 1.
= n! / (n-m)! * (m-k)! * k! 2.
= n!/(n-k)!*k! * (n-k)!/(n-m)!*(m-k)! 3.
=C(n,k) * C(n,k,m-k) 4.
证毕。
二项式定理：
(x+y)^n = ∑C(n,a)x^a * y^(n-1) , a∈[0,n]。
定理的正确性可依然从其组合意义来理解。
我们考察C(n,a) = n!/(n-a)! * a! ， 则我们可以将C(a+b,a)写成(a+b)! / a!b!,则我们可以把二项式定理改成如下更漂亮的形式。
(x+y)^n = ∑(a+b)! / a!b! x^a * y^b , a∈[0,n],a+b = n. ⑫
三项式定理：
(x+y+z)^n = ∑C(a+b+c,b+c) * C(b+c,c) x^a * y^b * z^c ， a∈[0,n]，a+b+c = n.
我们采取类似处理二项式系数的方法，有C(a+b+c , b+c) * C(b+c,c) = (a+b+c)!/a!b!c!.
即有(x+y+z)^n = ∑(a+b+c)!/a!b!c! * x^a * y^b * z^c , a∈[0,n] , a+b+c = n。
由此我们可以做出推广，对于(x1+x2+x3...+xm)^n，我们利用这种处理系数的方法，可以归纳出一般的规律。
我们记C(a+b+c,a,b,c)表示将a+b+c个元素分成各含有a、b、c元素的方法数。
多项式系数：
C(x1+x2+...+xm,x1,x2,...,xm) = (x1+x2+x3...xm)/x1!x2!x3!...xm!
范德蒙德卷积公式：
∑C(r,k)*C(s,n-k) = C(r+s,n) k∈[0,n]
我们从一个组合解释来理解这个恒等式，假设我们想要从r个男人和s个女人的人群中选n个人，一方面，我们可以用C(r+s,n)来表示这个过程的方法数。我们还可以从另一个角度来看，我们先从r个男人中选取k个，随后从s个女人中选取n-k个人，利用分步乘法定理，我们可以用∑C(r,k)*C(s,n-k)来表示。