BZOJ1597:[USACO]土地购买(斜率优化DP)

Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <

= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价

格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要

付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

Input

* 第1行: 一个数: N

* 第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

Output

* 第一行: 最小的可行费用.

Sample Input

4
100 1
15 15
20 5
1 100
输入解释:
共有4块土地.

Sample Output

500
FJ分3组买这些土地:
第一组:100x1,
第二组1x100,
第三组20x5 和 15x15 plot.
每组的价格分别为100,100,300, 总共500.

Solution

若一个矩形可以被其他矩形覆盖，那么其实这个矩形是不需要考虑的。
按x第一关键字，y第二关键字从小到大排序，单调栈就可以搞了。
然后可以发现长为递增，宽为递减。
就很容易发现是斜率优化了……p[i]为自变量，q[j+1]为斜率
维护上凸，斜率优化

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define N (50000+100)
using namespace std;
struct node
{
    LL x,y;
}land[N];
bool cmp(node a,node b) { return a.x<b.x || a.x==b.x && a.y<b.y; }

LL p[N],q[N],cnt;
LL Q[N*2],head,tail;
LL f[N],n;

LL K(LL j) { return q[j+1]; }
LL B(LL j) { return f[j]; }
LL Y(LL i,LL j) { return K(j)*p[i]+B(j); }

LL cover(LL x1,LL x2,LL x3)
{
    LL w1=(B(x1)-B(x2))*(K(x3)-K(x1));
    LL w2=(B(x1)-B(x3))*(K(x2)-K(x1));
    return w1<=w2;
}

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for (LL i=1;i<=n;++i)
        scanf("%lld%lld",&land[i].x,&land[i].y);
    sort(land+1,land+n+1,cmp);
    for (LL i=1;i<=n;++i)
    {
        while (cnt && land[i].y>=q[cnt]) cnt--;
        p[++cnt]=land[i].x; q[cnt]=land[i].y;
    }
    LL head=1,tail=1;
    for (LL i=1;i<=cnt;++i)
    {
        while (head<tail && Y(i,Q[head])>=Y(i,Q[head+1])) head++;
        f[i]=Y(i,Q[head]);
        while (head<tail && cover(i,Q[tail],Q[tail-1])) tail--;
        Q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld",f[cnt]);    
}