• BZOJ2839:集合计数(容斥,组合数学)


    Description

    一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007。(是质数喔~)

    Input

    一行两个整数N,K

    Output

    一行为答案。

    Sample Input

    3 2

    Sample Output

    6

    HINT

    【样例说明】

    假设原集合为{A,B,C}

    则满足条件的方案为:{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

    【数据说明】

    对于100%的数据,1≤N≤1000000;0≤K≤N;

    Solution

    首先考虑一下容斥
    设$f(k)$表示选出一些集合使它们交集大小至少为$k$的方案数。
    那么$f(k)=C_n^k imes (2^{2^{n-k}}-1)$
    这玩意儿怎么理解呢?也就是先把那$i$个数确定下来,然后有$2^{n-k}$个集合可以包含那$k$个数。这些集合要么选要么不选,但不能一个都不选,也就是不能为空集。所以有$2^{2^{n-k}}-1$种选择方法。
    那么容斥系数呢?可以发现当计算交集至少为$k$的方案时候,交集至少为$j$的方案($j>k$)会被计算$C_j^k$次。
    也就是说,
    $f(k)$的系数为$1$。
    $f(k+1)$的系数为$-C_{k+1}^k$。
    $f(k+2)$的系数为$-C_{k+2}^k+C_{k+1}^k imes C_{k+2}^{k+1}=C_{k+2}^k$
    为什么$f(k+2)$能那么推呢……因为$C_N^M imes C_M^S=C_N^S imes C_{N-S}^{N-M}$
    搞到现在基本可以组合计数搞搞出解了,至于那个大的一比的$2^{2^{n-k}}$,根据欧拉定理直接指数取模$φ(MOD)$就好了,显然$φ(MOD)=MOD-1$。

    Code

     1 #include<iostream>
     2 #include<cstdio>
     3 #define N (1000009)
     4 #define LL long long
     5 #define MOD (1000000007)
     6 using namespace std;
     7 
     8 LL n,k,ans,inv[N],fac[N],facinv[N],p[N];
     9 
    10 void Init()
    11 {
    12     inv[1]=fac[0]=facinv[0]=p[0]=1;
    13     for (int i=1; i<=n; ++i)
    14     {
    15         if (i!=1) inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
    16         fac[i]=fac[i-1]*i%MOD; facinv[i]=facinv[i-1]*inv[i]%MOD;
    17         p[i]=p[i-1]*2%(MOD-1);
    18     }
    19 }
    20 
    21 LL Qpow(LL a,LL b)
    22 {
    23     LL ans=1;
    24     while (b)
    25     {
    26         if (b&1) ans=ans*a%MOD;
    27         a=a*a%MOD; b>>=1;
    28     }
    29     return ans;
    30 }
    31 
    32 LL C(LL n,LL m)
    33 {
    34     if (n<m) return 0;
    35     return fac[n]*facinv[m]%MOD*facinv[n-m]%MOD;
    36 }
    37 
    38 int main()
    39 {
    40     scanf("%lld%lld",&n,&k);
    41     Init();
    42     for (int i=k,j=1; i<=n; ++i,j=-j)
    43         ans+=j*C(n,i)*(Qpow(2,p[n-i])-1)%MOD*C(i,k)%MOD;
    44     ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;
    45     printf("%lld
    ",ans);
    46 }
  • 相关阅读:
    流程控制引擎组件化
    (七):C++分布式实时应用框架 2.0
    (六):大型项目容器化改造
    (五):C++分布式实时应用框架——微服务架构的演进
    (四):C++分布式实时应用框架——状态中心模块
    (三):C++分布式实时应用框架——系统管理模块
    (二): 基于ZeroMQ的实时通讯平台
    (一):C++分布式实时应用框架----整体介绍
    分布式压测系列之Jmeter4.0第一季
    选择 NoSQL 需要考虑的 10 个问题
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/refun/p/10145811.html
Copyright © 2020-2023  润新知