CF993E:Nikita and Order Statistics(FFT)

Description

给你一个数组 $a_{1 sim n}$，对于 $k = 0 sim n$，求出有多少个数组上的区间满足：区间内恰好有 $k$ 个数比 $x$ 小。$x$ 为一个给定的数。

Input

第一行$n,x$。

第二行给出$n$个数

Output

一行答案。

Sample Input1

5 3
1 2 3 4 5

Sample Output1

6 5 4 0 0 0

Sample Input2

2 6
-5 9

Sample Output2

1 2 0

Sample Input3

6 99
-1 -1 -1 -1 -1 -1

Sample Output3

0 6 5 4 3 2 1

Solution

为什么这个题网上大部分题解分析来分析去我都看不懂啊……QAQQQ

感觉我的理解能力还是太渣了……

首先我们把小于$x$的置为$1$，否则置为$0$，然后求一个前缀和，并把这些前缀和安排到一个桶里面。

记这个桶为$f[i]$，表示前缀和$=i$的个数。

假设我们枚举$i=0 sim n$，来代表$k$，那么对于一个$i$来说，它的答案就是

$sum_{j=0}^{n}f[j]*f[j+i]$。然后这玩意儿就是套路了，设$g[n-j]=f[j]$，

就成了$sum_{j=0}^{n}g[n-j]*f[j+i]$，$FFT$卷一下就好了。

注意当$k=0$时，会有$n+1$次自己和自己算到一起的情况，减掉这种情况然后再除$2$就好了。

为什么要除$2$因为两个前缀和如果相同的话就会$a$和$b$算一次，$b$和$a$算一次……

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N (800009)
#define LL long long
using namespace std;

int n,x,fn,l,tmp,r[N],cnt[N],sum[N];
LL ans[N];

double pi=acos(-1.0);
struct complex
{
    double x,y;
    complex(double xx=0,double yy=0)
    {
        x=xx; y=yy;
    }
}a[N],b[N];

complex operator + (complex a,complex b) {return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator - (complex a,complex b) {return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator * (complex a,complex b) {return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
complex operator / (complex a,double b) {return complex(a.x/b,a.y/b);}

void FFT(int n,complex *a,int opt)
{
    for (int i=0; i<n; ++i)
        if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for (int k=1; k<n; k<<=1)
    {
        complex wn=complex(cos(pi/k),opt*sin(pi/k));
        for (int i=0; i<n; i+=k<<1)
        {
            complex w=complex(1,0);
            for (int j=0; j<k; ++j,w=w*wn)
            {
                complex x=a[i+j],y=w*a[i+j+k];
                a[i+j]=x+y; a[i+j+k]=x-y;
            }
        }
    }
    if (opt==-1) for (int i=0; i<n; ++i) a[i]=a[i]/n;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&x);
    cnt[0]++;
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    {
        scanf("%d",&tmp);
        sum[i]=sum[i-1]+(tmp<x); cnt[sum[i]]++;
    }
    for (int i=0; i<=n; ++i)
        a[i].x=b[n-i].x=cnt[i];
    fn=1;
    while (fn<=2*n) fn<<=1, l++;
    for (int i=0; i<fn; ++i)
        r[i]=(r[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(l-1));
    FFT(fn,a,1); FFT(fn,b,1);
    for (int i=0; i<fn; ++i)
        a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(fn,a,-1);
    for (int i=0; i<=n; ++i)
        ans[i]=(LL)(a[n+i].x+0.5);
    for (int i=0; i<=n; ++i)
        printf("%lld ",(i==0)?((ans[i]-n-1)/2):(ans[i]));
}