欧拉函数是一个很有用的东东。可以被扩展用来解决许多与素数相关的问题，逆元问题，欧拉函数降幂等！
概念：欧拉函数是小于或等于n（其实=时就是针对1的时候，1自身还是1）的正整数中与n互质的数的数目（特别地φ(1)=1），若n为质数可直接根据性质得出
，否则的话要求解。
求解模板：
1 int Euler(int n) 2 { 3 if(n==1) return 1; 4 int ans=n; 5 6 for(int i=2;i*i<=n;++i) 7 { 8 if(n%i==0) 9 { 10 while(n%i==0) n/=i; 11 ans=ans/i*(i-1); 12 } 13 } 14 if(n!=1) ans=ans/n*(n-1); 15 16 return ans; 17 }
欧拉定理：
费马小定理：当m是质数时，质数部分欧拉函数质数部分不用求了，直接用m-1代替就行！
所以，费马小定理就是当n为质数时欧拉定理的特殊情况！
欧拉函数求逆元：51nod1256（当然也可用扩展欧几里得，这里就不说了）
余数m为非质数时，跑一边欧拉函数，用欧拉定理变形求即可
余数m为质数时，欧拉函数直接=m-1，用费马小定理变形即可
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 #include <string.h> 4 using namespace std; 5 typedef long long ll; 6 int mod; 7 8 int Qpow(llo a,llo b) 9 { 10 int r=1; 11 while(b) 12 { 13 if(b&1)r=r*a%mod; 14 a=a*a%mod; 15 b>>=1; 16 } 17 18 return r; 19 } 20 21 int Euler(int n) 22 { 23 if(n==1) return 1; 24 int ans=n; 25 26 for(int i=2;i*i<=n;++i) 27 { 28 if(n%i==0) 29 { 30 while(n%i==0) n/=i; 31 ans=ans/i*(i-1); 32 } 33 } 34 if(n!=1) ans=ans/n*(n-1); 35 36 return ans; 37 } 38 39 int main() 40 { 41 int a,b; 42 cin>>a>>b; 43 mod=b; 44 45 //llo ans=Qpow(a,mod-2);// mod质数 46 int ans=Qpow(a,Euler(mod)-1); 47 cout<<ans<<endl; 48 49 return 0; 50 }
欧拉函数还可判断是不是质数，因为质数欧拉值=p-1嘛！（当然可以用直接判断质数方法，这里只是为了说明欧拉函数有这个功能！）
1 #include <iostream> 2 #include <string> 3 #include <algorithm> 4 #include <iomanip> 5 #include <map> 6 #include <cstdio> 7 #include <cstring> 8 using namespace std; 9 typedef long long ll; 10 typedef unsigned long long ull; 11 const int maxn=1e7+1; 12 int vis[maxn]; 13 int n,m; 14 15 int Euler(int n) 16 { 17 if(n==1) return 1; 18 int ans=n; 19 20 for(int i=2;i*i<=n;++i) 21 { 22 if(n%i==0) 23 { 24 while(n%i==0) n/=i; 25 ans=ans/i*(i-1); 26 } 27 } 28 if(n!=1) ans=ans/n*(n-1); 29 30 return ans; 31 } 32 33 34 int main() 35 { 36 ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); 37 38 cin>>n>>m; 39 while(m--) 40 { 41 int x; 42 cin>>x; 43 44 int ans=Euler(x); 45 if(ans==x-1) cout<<"Yes"<<endl; 46 else cout<<"No"<<endl; 47 } 48 49 return 0; 50 }
完。