• [TJOI2008] 彩灯 (线性基)


    [TJOI2008] 彩灯

    题目描述

    Peter女朋友的生日快到了,他亲自设计了一组彩灯,想给女朋友一个惊喜。已知一组彩灯是由一排N个独立的灯泡构成的,并且有M个开关控制它们。从数学的角度看,这一排彩灯的任何一个彩灯只有亮与不亮两个状态,所以共有(2^N)个样式。由于技术上的问题,Peter设计的每个开关控制的彩灯没有什么规律,当一个开关被按下的时候,它会把所有它控制的彩灯改变状态(即亮变成不亮,不亮变成亮)。假如告诉你他设计的每个开关所控制的彩灯范围,你能否帮他计算出这些彩灯有多少种样式可以展示给他的女朋友?

    注: 开始时所有彩灯都是不亮的状态。

    输入输出格式

    输入格式:

    每组测试数据第一行为两个整数N和M,用空格隔开。紧接着是有M行,每行都是一个长度为N的字符串,表示一个开关控制彩灯的范围(N盏灯),如果第i个字母是大写字母’O’,则表示这个开关控制第i盏灯,如果第i个字母是大写字母’X’,则表示这个开关不控制此灯。

    输出格式:

    输出这些开关和彩灯可以变换出来的样式数目。由于这个值可能会很大,请求出它对于整数2008的余数。

    输入输出样例

    输入样例#1:

    2 3
    OO
    XO
    OX

    输出样例#1:
    4

    说明

    可见样例中第一个开关控制了所有的彩灯,而后两个开关分别控制了第一个和第二个彩灯,这样我们可以只用后两个开关控制彩灯,可以变换出来所有的(2^2)个状态。

    30%的数据中,N和M不超过15。

    另外有40%的数据中,N和M有一个为50

    100%的数据中,N和M不超过50。

    Solution

    线性基板子题

    对于每一个开关,我们可以看成一个0/1串,初始是一个全部为0的串,要求经过这些开关的操作后,出现的不同的0/1串的个数

    终点就是不同这两个字,这就决定了我们可以使用线性基来解决这道题

    首先了解一下线性基的性质对于两个数字a,b,可以有0,a,b,a^b四种情况
    把b换成a^b依然如此

    线性基内的元素是不重复的

    那么我们就可以把这些0/1串换成10进制后丢到线性基里面去,然后统计线性基内元素个数
    在这里稍微讲一下线性基的原理

    线性基可以说是一种容器,并且对于每一位都有一个数,这个数一定保证自己所在的这一位为1
    我们开一个数组记录线性基,对于每一个数x我们都对它的每一位从高到低进行一遍扫描,与线性基中这一位去匹配
    如果线性基中这一位为空,我们就把x加入这一位中,然后就不用做下去了
    如果线性基中这一位有值,我们就用x去xor这个数,表示消去这一位,知道出现第一种情况
    这种方法就保证了线性基内元素的不重复性
    除此之外,线性基还有三条最重要的性质

    1. 线性基能相互异或得到原集合的所有相互异或得到的值
    2. 线性基是满足性质1的最小的集合
    3. 线性基没有异或和为0的子集

    对于第1,2条性质,不需要太多解释,在这里主要证明一下第三条性质

    证明:假设有(a_1igoplus a_2igoplus ... igoplus a_n=0),那么(a_1)一定可以由(a_2igoplus ... igoplus a_n)表示,那么我们把(a1)从线性基中删除依然可以异或除原来可以异或的元素,并且比原来的元素个数还要少,这样原来的线性基就与第二条性质最小集合相违背,所以假设不成立

    下面是线性基构造代码

    void init (lol box) {
    	for(int i=50;i>=0;i--) {
    		if(!(box>>i&1)) continue; 
    		if(!arr[i]) {++cnt,arr[i]=box;break;}
    		else box^=arr[i]; 
    	} 
    }
    

    我们知道,线性基内的元素都是由外界元素异或出来的,那么对于线性基内每个元素,我们都有选/不选两种情况,所以(Ans=1<<cnt)

    Code

    #include<bits/stdc++.h>
    #define lol long long
    using namespace std;
    const int N=51,mod=2008;
    int cnt;
    lol arr[N];
    void init (lol box) {
        for(int i=50;i>=0;i--) {
            if(!(box>>i&1)) continue; 
            if(!arr[i]) {++cnt,arr[i]=box;break;}
            else box^=arr[i];
        }
    }
    int main()
    {
        int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=m;i++) {
            char s[N]; scanf("%s",s);
            int len=strlen(s); lol x=0;
            for(int i=0;i<len;i++) x+=(1ll<<(n-i))*(s[i]=='O');
            init(x);
        }
        printf("%lld
    ",(1ll<<cnt)%mod);
        return 0;
    }
    

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