随机变量的数字特征小复习
- 离散型随机变量的数学期望：
[EX = sum{x_kp_k}
]
- 连续型随机变量的数学期望：
[EX = int_{-infty}^{infty}xf(x)dx
]
泊松分布的参数 (lambda) 就是其数学期望
随机变量函数的数学期望
(X) 是随机变量，(Y = g(X)) 为单调函数或连续函数
- X 是离散型随机变量，且 (g(x_k)) 收敛：
[EY = E[g(X)] = sum^{infty}_{k=1}g(x_k)p_k
]
- X 是连续型随机变量，且 (g(x)) 收敛：
[EY = E[g(X)] = int_{-infty}^{infty}g(x)f(x)dx
]
(X, Y)为二维随机变量，$z=g(x,y)是连续函数
- (X, Y)是离散型随机变量，且求和结果不为无穷：
[EZ = E[g(X, Y)] = sum^infty_{i=1}sum^infty_{j=1}g(x, y)p_{ij}
]
- 连续型：
[int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty}g(x,y)f(x, y)dxdy
]
数学期望的性质：
- C 为常数，有
[EC = C
]
- C 为常数，X 为随机变量，有
[E(CX) = CEX
]
- X,Y 为任意的随机变量，则
[E(X+Y) = EX + EY
]
- X 和 Y 是相互独立的随机变量，有
[E(XY) = EX cdot EY
]
方差概念
X 是随机变量，且 (E(X-EX)^2) 存在，即方差。
[DX = E(X - EX)^2
]
- X 是离散型随机变量
[DX = sum^infty_{k=1}(x_k - EX)^2p_k
]
- 连续型
[DX = int_{-infty}^{infty}(x-EX)^2f(x)dx
]
通用公式：
[DX = EX^{2} - (EX)^{2}
]
方差的性质
C 为常数，X、Y 是两个随机变量
(1) (DC = 0)
(2) (D(CX) = C^2DX)
(3)
[D(X+Y) = DX+DY {pm} 2E(x-EX)(Y-EY)
]
若X 和 Y 相互独立：
(D(Xpm Y) = DX + DY)
(4) (DX leq E(X-C)^2)，
当且仅当 $ C = EX$ 时，(E(X-C)^2) 取得最小值 DX。
(5) (DX = 0)的充要条件是 $P{X = C} = 1
协方差
[egin{aligned}
cov(X, Y) &= E(X = E)(Y - EY)
\ &= E(XY) - EX cdot EY
end{aligned}
]
性质
- (cov(X,Y) = cov(Y, X))
- (cov(aX, bY) = abspace cov(X, Y))
- (cov(X_1 + X_2, Y) = cov(X_1, Y) + cov(X_2, Y))
- X, Y相互独立， cov(X, Y) = 0
相关系数
[
ho XY = frac{cov(X,Y)}{sqrt{DX}sqrt{DY}}
]
相关系数的绝对值必定不大于1，且当X和Y为线性关系时才为1。
(
ho XY)即X和Y不相关。