题目链接:https://www.acwing.com/problem/content/211/
求矩阵的最大无关组的维数,也就是行向量的极大无关组,线性空间的一组基(因为线性空间的一组基可以表示线性空间中的其他任意的向量,他们之间不能相互表示),可以用高斯消元的方式,求维数,但是本题不仅仅要求得出维数,还得得出在这样的维数的情况下最小的花费,所以需要利用贪心的方法,扫描到第i个变量时,需要检查所有的含这个变量的最小的花费,可以证明,在不选这个花费的情况下情况不会变的更优(反证法证明)。中间可能会出现一些自由元,所以我们需要记录当前的非自由元构成的dimention。
还有一个问题就是,需要使用long double 防止除法溢出,longdouble大约支持1.2*10^-400~1.2*10^400之间的小数。这是一个重点。
代码:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<math.h> using namespace std; #define maxn 510 const double eps=1e-8; long double a[maxn][maxn]; int c[maxn]; int n,m; int main(){ double tmp; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ scanf("%lf",&tmp); a[i][j]=tmp; } } int ans=0; for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%lf",&tmp); c[i]=tmp; } int dim=0;//表示矩阵的维数 //对每个未知量进行一次消元,所以i的范围是到m for(int i=1;i<=m;i++){ int now=-1; for(int j=dim+1;j<=n;j++){//找出当前位置的最小的花费 if(fabs(a[j][i])>eps && (now==-1 || c[j]<c[now])){ now=j; } } if(now==-1)continue;//当前主元是自由元 dim++;//n个行向量对应的特征空间的维数增加 ans+=c[now]; for(int j=1;j<=m;j++) swap(a[now][j],a[dim][j]); swap(c[now],c[dim]); for(int j=1;j<=n;j++){//扫描所有除了当前行之外的行 if(j!=dim && fabs(a[j][i])>eps){ long double rate=a[j][i]/a[dim][i]; for(int k=i;k<=m;k++) a[j][k]-=a[dim][k]*rate;//第j行减去第dim行的rate倍 } } } cout<<dim<<" "<<ans<<endl; }