hdu6026 dijkstra

题目链接：http://icpc.njust.edu.cn/Problem/Hdu/6026/

题意大致是：给定一个图，要求删边使他变成树，使得每个点到0的距离就是原图中0到这个点的最短路径。其实就是最短路树。

证明1: 对于每个结点我们只要知道有多少条路径到它的距离是最短路长度，记为cnt，那么就有cnt条边连着前驱结点，首先，能保证的是每个点都是0能够到达的，所以前驱结点一定是全部都能到达的，就是他们的d一定存在，所以我们只要删除cnt-1条边，留下一条就能建成最短路树。对于每个结点，我们扫描之后按照乘法规则将方案数相乘即可。

下面分三种情况来证明这是一棵树

①、假设有一个结点p连着一个结点q，有dis[q]<dis[p]+edge[p][q],那么这就构成了一个圈，我们删除edge[p][q]就变成了无圈而且从0都能到达这两个结点，对于其他边，我们也可以这样删除。

②、假设有一个结点p连着一个结点q，有dis[q]=dis[p]+edge[p][q]，我们从证明1中知道这样的p只会有一个，因为这样的边我们的算法中已经删的只剩下一条。所以这种情况不构成圈。

③、假设有一个结点p连着一个结点q，有dis[q]>dis[p]+edge[p][q]，与dis[q]是q的最短路长度矛盾。

综上：算法完成之后的图成为了树。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned int ui;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define pf printf
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define prime1 1e9+7
#define prime2 1e9+9
#define pi 3.14159265
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define scand(x) scanf("%llf",&x) 
#define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define scan(a) scanf("%d",&a)
#define mp(a,b) make_pair((a),(b))
#define P pair<int,int>
#define dbg(args) cout<<#args<<":"<<args<<endl;
#define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn=100;
const int mod=1e9+7;
int n,m,t;
int d[maxn],edge[maxn][maxn];
void dijkstra(int src)
{
    priority_queue<P,vector<P> ,greater<P> >q;
    f(i,0,n-1)d[i]=inf;
    d[src]=0;
    q.push(mp(0,src));
    while(!q.empty())
    {
        P now=q.top();
        q.pop();
        int u=now.second;
        if(d[u]<now.first)continue;
        f(i,0,n-1)
        {
            if(edge[u][i]&&d[i]>d[u]+edge[u][i])
            {
                d[i]=d[u]+edge[u][i];
                q.push(mp(d[i],i));
            }
        }
    }
}
int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output.txt","w",stdout);
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    while(scan(n)!=EOF)
    {
        char c;
        f(i,0,n-1)
            f(j,0,n-1)
            {
                scanf(" %c",&c);
                edge[i][j]=c-'0';
            }
            ll ans=1;
            dijkstra(0);
            f(i,1,n-1)
            {
                int cnt=0;
                f(j,0,n-1)
                {
                    if(edge[i][j]&&(d[j]+edge[j][i]==d[i]))cnt++;
                }
                ans=(ans*cnt)%mod;
            }
            pf("%lld
",ans);
    }
    
 }