Solution Set 「NOIP Simu.」20221005

\(\mathscr{A}\sim\)「CF 1252G」Performance Review

  Link & Submission.

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  Tag:「水题无 tag」

  记 \(A=a_1\), 对于任何其他的 \(a\), 我们只关心它与 \(A\) 的大小关系. 进一步, 任何一个时刻都可以用整数 \(k\) 记录, 其描述该时刻有 \(k\) 个 \(a<A\). 被裁员的条件就是 \(k<b_i\), 即 \(k-b_i<0\). 线段树维护 \(k-b_i\) 判断全局最小值是否 \(<0\) 即可. 复杂度 \(\mathcal O(q\log m)\).

\(\mathscr{B}\sim\)「CF 1515E」Phoenix and Computers

  Link & Submission. (这个题目编号念出来好可爱 w.)

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  Tag:「A.DP-计数 DP」

  先说赛上的 \(\mathcal O(n^3)\) 做法. 注意到我们手动开启的电脑一定是若干段区间, 且相邻区间之间只有一个位置没被操作. 因此, 可以尝试对这些区间进行规划和计数.

  一方面, 设长度为 \(\ell\) 的区间的操作方案数为 \(g_\ell\), 显然我们不能跳着操作两台电脑, 否则这两台电脑中间必然有一台无法手动开启. 那么, 枚举第一次操作的位置, 可知:

\[g_\ell=\sum_{i=1}^{\ell}\binom{\ell-1}{i-1}=2^{\ell-1}. \]

  接下来, 设 \(f(i,j,k)\) 表示考虑了前 \(i\) 个位置, 一共操作了 \(j\) 台电脑, 从 \(i\) 开始前面 \(k\) 台电脑是手动操作, 此时的总方案数 \(/j!\) 的值. 转移分第 \(i+1\) 个位置是否手动操作, 可知:

\[f(i,j,k)\cdot 2^{k-1}\overset{+}{\longrightarrow}f(i+1,j,0)~(k>0),\\ f(i,j,k)\cdot\frac{1}{k+1}\overset{+}{\longrightarrow}f(i+1,j+1,k+1). \]

最后答案就是

\[\sum_{j,k>0}2^{k-1}j!f(n,j,k). \]

可以做到 \(\mathcal O(n^3)\).

  然后呢 ... 受这个方法启发, 很自然地引入 GF. 令 \(F(x)=\sum_{i\ge1}\frac{2^{i-1}x^i}{i!}=(e^{2x}-1)/2\) 为 \(g\) 的 EGF, 那么

\[\begin{aligned} \textit{ans} &= \sum_{k=0}^{(n-1)/2}\left[\frac{x^{n-k}}{(n-k)!}\right]F^{k+1}(x)\\ &= \sum_{k}2^{-k-1}\left[\frac{x^{n-k}}{(n-k)!}\right](e^{2x}-1)^{k+1}\\ &= \sum_{k}2^{n-2k-1}\sum_{i=0}^{k+1}\binom{k+1}{i}(-1)^{k+1-i}i^{n-k} \end{aligned} \]

可以随便 \(\mathcal O(n^2)\) 算了. 进一步加速的话 ... 没有什么结果 qwq.

\(\mathscr{C}\sim\)「CF 1654F」Minimal String Xoration

  Link & Submission & Solution (6.14)

\(\mathscr{D}\sim\)「CF 1710D」Recover the Tree *

  Link & Submission.

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  Tags:「A.构造」「C.思维」

  赛上给了一个强提示性但因为我的错解恰好能跑对, 所以没有被我重视的 subtask ...

  考虑一个特殊情景: \([l,r]\) 连通当且仅当 \(l=1,r=n\) 或者 \(l=r\). 这里给出一个构造:

  接下来考虑一般情况. 注意到一个结论: 对于 \(\ell_1\le \ell_2\le r_1\le r_2\), 若 \([\ell_1,r_1],[\ell_2,r_2]\) 都连通, 那么 \([\ell_2,r_1]\) 和 \([\ell_1,r_2]\) 也都连通. 因此, 原图可以被划分为若干个极大的连通区间. 对于区间内部归纳构造; 在区间之间, 我们需要将它们连通而不产生任何新的连通块, 此时直接使用特殊情景的构造方法即可. 复杂度 \(\mathcal O(n^2)\).