(mathcal{Description})
Link.
给定二分图 (G=(V=Xcup Y,E))，(|X|=|Y|=n)，边 ((u,v)in E) 有权 (w(u,v))，且保证存在完美匹配。求 (G) 的一个匹配 (M)，最大化 (sum_{(u,v)in M}w(u,v))。
(nle500)。
(mathcal{Solution})
首先我会费用流。
Kuhn-Munkres 算法，能够在 (mathcal O(n^3)) 的优秀复杂度内解决这一问题，即二分图最大权完美匹配问题。
定义 1（可行顶标） 对于 (uin V)，分配一个实数顶标 (l(u))，若满足 (forall (u,v)in E,w(u,v)le l(u)+l(v))，则称 (l) 为可行顶标。
定义 2（相等子图） 在确定的可行顶标 (l) 下，定义 (G) 的相等子图 (H=(V,E'))，其中 (E'={(u,v)in Emid w(u,v)=l(u)+l(v)})。
定理 1 若相等子图 (H) 有完美匹配 (M)，则 (M) 是 (G) 的最大权完美匹配。
定理的证明是平凡的，不过值得一提的是，(sum l(u)) 与 (sum w(u,v)x(u,v))（(x(u,v)in{0,1})，表示这条边选或不选）似乎构成对偶线性规划的关系，期待读者能在此有一些思考（咕。
接下来就落实到算法层面，我们的目标就是找到存在完美匹配的可行顶标。
首先，任取一组可行顶标。例如，(l(u)=[uin X]max_{(u,v)in E}w(u,v))。
此后，选一个未匹配点，走交错路径增广。若存在增广路就直接增广；否则，我们会通过遍历得到一棵交错路径树。令 (S,T) 分别表示 (X,Y) 中在树上的点，(S',T') 则表示不在树上的点。分析集合到集合内边的性质：
-
$forall uin S,vin T',(u,v)in E,~w(u,v)<l(u)+l(v) $。
-
(forall uin S',vin T,(u,v)in E)，((u,v)) 不是匹配边。
考虑这样一个对 (l) 的调整，取某个正整数 (d)，令
考查新的 (l') 带来的影响：
-
((u,v)in S imes T) 内的边，(l(u)+l(v)) 不变，不影响。
-
((u,v)in S' imes T') 内的边，也不影响。
-
((u,v)in S imes T')，顶标的限制从 (l(u)+l(v)) 变为 (l(u)+l(v)-d)，则 ((u,v)) 有可能加入 (H)。
-
((u,v)in S' imes T)，顶标的限制从 (l(u)+l(v)) 变为 (l(u)+l(v)+d)，则 ((u,v)) 不可能加入 (H)。
可见，仅有 (S imes T') 内的边影响 (l') 的可行性。我们取 (d=min_{(u,v)in Ecap (S imes T')}{l(u)-l(v)-w(u,v)})，则必然至少一条边进入 (H)，就能借此扩展交错路径树了。对于 (uin Y)，通过维护 (s(u)=min{l(u)-l(v)-w(u,v)})，就能快速求出 (d)。
分析复杂度，(n) 次枚举起始点，每次做至多 (n) 次对 (l') 的更新，每次更新 (mathcal O(n))，最终可以做到 (mathcal O(n^3))。
(mathcal{Code})
注意几个细节：
-
(l(u),s(u)) 的规模可能很大，上界为 (nw)，(w) 为边权，上界是能达到的。
-
增广时必须从新连入交替路径树的点出发以保证复杂度。
/*+Rainybunny+*/
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, l, r) for (int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i)
#define per(i, r, l) for (int i = r, per##i = r; i >= per##i; --i)
typedef long long LL;
template <typename Tp>
inline Tp imin(const Tp& u, const Tp& v) { return u < v ? u : v; }
template <typename Tp>
inline Tp imax(const Tp& u, const Tp& v) { return u < v ? v : u; }
const int MAXN = 500;
const LL LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n, m, fa[MAXN * 2 + 5], mtc[MAXN * 2 + 5];
LL slk[MAXN * 2 + 5], lab[MAXN * 2 + 5], adj[MAXN + 5][MAXN + 5];
bool vis[MAXN * 2 + 5];
inline int augment(const int u, std::vector<int>& newS) {
assert(!vis[u]), vis[u] = true;
if (u > n && !mtc[u]) return u;
else if (u > n) {
if (int t; fa[mtc[u]] = u, t = augment(mtc[u], newS)) return t;
} else {
newS.push_back(u);
rep (v, n + 1, n << 1) {
if (!vis[v] && adj[u][v - n] == lab[u] + lab[v]) {
if (int t; fa[v] = u, t = augment(v, newS)) {
return t;
}
}
}
}
return 0;
}
inline LL kuhnMunkres() {
LL ret = 0;
rep (u, 1, n) rep (v, 1, n) lab[u] = imax(lab[u], 0ll + adj[u][v]);
rep (u, 1, n) if (!mtc[u]) {
int fin, cur = u;
static std::vector<int> newS; newS.clear();
memset(fa, 0, sizeof fa);
memset(vis, false, sizeof vis);
memset(slk, 0x3f, sizeof slk);
while (!(fin = augment(cur, newS))) {
LL d = LINF;
rep (v, n + 1, n << 1) if (!vis[v]) {
for (int u: newS) {
if (LL t = lab[u] + lab[v] - adj[u][v - n]; t < slk[v]) {
slk[v] = t, fa[v] = u;
}
}
d = imin(d, slk[v]);
}
newS.clear(), cur = 0;
rep (u, 1, n) if (vis[u]) lab[u] -= d;
rep (v, n + 1, n << 1) {
if (vis[v]) lab[v] += d;
else if (!(slk[v] -= d)) cur = v;
}
}
if (fin) {
for (int v = fin, u = fa[v]; u; u = fa[v = fa[u]]) {
mtc[u] = v, mtc[v] = u;
ret += adj[u][v - n];
if (fa[u]) ret -= adj[u][fa[u] - n];
}
}
}
return ret;
}
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
rep (i, 1, n) rep (j, 1, n) adj[i][j] = -LINF;
rep (i, 1, m) {
int u, v, w; scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
adj[u][v] = w;
}
printf("%lld
", kuhnMunkres());
rep (v, n + 1, n << 1) printf("%d%c", mtc[v], v < repv ? ' ' : '
');
return 0;
}