Solution -「CF 1586F」Defender of Childhood Dreams

(mathcal{Description})

  Link.

  定义有向图 (G=(V,E))，(|V|=n)，(lang u,v ang in E Leftrightarrow u<v)。求一个对 (E) 的染色 (f)，使得 ( otexist lang v_1,v_2,cdots,v_{k+1} ang, |{f(v_i,v_{i+1})mid iin[1,k]}|=1)，同时最小化 (f) 的值域大小。

  (2le k<nle10^3)。

(mathcal{Solution})

  设 (f) 的值域大小为 (c)，断言：(cgelceillog_k n ceil)。

  证明 该结论的等价表述是，若 (f) 值域大小为 (c)，则 (nle k^c)。当 (c=0) 时显然成立。接下来对 (c) 进行归纳：

  任取一个 (f) 值域大小为 (c) 的，被合法染色的图 (G)，并任取某种颜色 (x)，据此将点集 (V) 划分为 (V_1,V_2,cdots,V_t)，使得 (V_i) 的导出子图中不存在颜色为 (x) 的边。这些点集之间的连边颜色全部为 (x)，所以 (tle k)。而仅考虑某个 (V_i) 的导出子图，它至多用 (c-1) 中颜色染色，由归纳假设，(|V_i|le k^{c-1})，继而 (|V|=sum |V_i|le kcdot k^{c-1}=k^c)。 (square)

  模仿归纳方法得到构造方法：划分点集，将点集之间的边染色，而后递归处理。复杂度上限为 (mathcal O(n^2))。

(mathcal{Code})

/*+Rainybunny+*/

#include <bits/stdc++.h>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )

const int MAXN = 1e3;
int n, k, mxc, ans[MAXN + 5][MAXN + 5];

inline void solve( const int l, const int r, const int clr ) {
    if ( l == r ) return ;
    if ( clr > mxc ) mxc = clr;
    int s = ( r - l + k ) / k;
    for ( int i = l; i <= r; i += s ) {
        solve( i, std::min( i + s - 1, r ), clr + 1 );
        rep ( u, l, i - 1 ) rep ( v, i, std::min( i + s - 1, r ) ) {
            ans[u][v] = clr;
        }
    }
}

int main() {
    scanf( "%d %d", &n, &k );
    
    solve( 1, n, 1 );
    printf( "%d
", mxc );
    rep ( i, 1, n ) rep ( j, i + 1, n ) printf( "%d ", ans[i][j] );
    putchar( '
' );
    return 0;
}