(mathcal{Preface})
单位根反演，顾名思义就是用单位根变换一类式子的形式。有关单位根的基本概念可见我的这篇博客。
(mathcal{Formula})
单位根反演的公式很简单：
[[k|n]=frac{1}ksum_{i=0}^{k-1}omega_k^{ni}
]
(mathcal{Proof})
分类讨论：
- (k|n). 那么 ((forall i)(omega_k^{ni}=1))，所以右侧为 (frac{1}ksum_{i=0}^{k-1}1=1)。
- (k ot=n). 等比数列求和，右侧为 (frac{1}kcdotfrac{1-omega_k^{kn}}{1-omega_k^n})，其中 (omega_k^{kn}=1)，故分子为 (0)，分母不为 (0)，式子的值为 (0)。
综上，得证。
(mathcal{Inference})
实际问题中，我们往往需要求出对于某个多项式（多为生成函数）(f) 的特定倍数次数的系数和。即求：
[sum_{i=0}^{lfloor frac{n}k
floor}[x^{ik}]f(x)
]
运用单位根反演的基本公式变形：
[egin{aligned}
sum_{i=0}^{lfloorfrac{n}k
floor}[x^{ik}]f(x)&=sum_{i=0}^n[k|i][x^i]f(x)\
&=sum_{i=0}^n[x^i]f(x)cdotfrac{1}ksum_{j=0}^{k-1}omega_k^{ij}\
&=frac{1}ksum_{j=0}^{k-1}sum_{i=0}^n[x^i]f(x)(omega_k^j)^i\
&=frac{1}ksum_{j=0}^{k-1}f(omega_k^j)
end{aligned}
]
只要能快速求出 (f) 在所有 (k) 次单位根处的点值，就能 (mathcal O(k)) 得出原式的值啦。
更方便的形式，若我们想求 (imod k=r) 时 ([x^i]f(x)) 之和，只需要在运用反演时移动一下 (omega_k) 的指标：
[egin{aligned}
sum_{i=0}^n[imod k=r][x^i]f(x)&=frac{1}ksum_{i=0}^nleft(sum_{j=0}^{k-1}omega_k^{j(i-r)}
ight)[x^i]f(x)\
&=frac{1}ksum_{j=0}^{k-1}omega_{k}^{-jr}f(omega_k^j)
end{aligned}
]
当然，我们常用原根代替单位根。