机器学习5- 对数几率回归+Python实现

目录

• 1. 对数几率回归
  • 1.1 求解 ω 和 b
• 2. 对数几率回归进行垃圾邮件分类
  • 2.1 垃圾邮件分类
  • 2.2 模型评估
    • 混淆举证
    • 精度
    • 交叉验证精度
    • 准确率召回率
    • F1 度量
    • ROC AUC

1. 对数几率回归

考虑二分类任务，其输出标记 (y in {0, 1})，记线性回归模型产生的预测值 (z=oldsymbol{w}^Toldsymbol{x} + b) 是实值，于是我们需要一个将实值 (z) 转换为 (0/1) 的 (g^{-}(cdot))。
最理想的单位阶跃函数（unit-step function）

[y = egin{cases} 0, & z < 0 \ 0.5, & z = 0 \ 1, & z > 0 \ end{cases} ag{1.1} ]

并不是连续函数，因此不能作为 (g^-(cdot)) 。于是我们选用对数几率函数（logistics function）作为单位阶跃函数的替代函数（surrogate function）：

[y = frac{1}{1+e^{-z}} ag{1.2} ]

如下图所示：

对数几率函数是 Sigmoid 函数（即形似 S 的函数）的一种。

将对数几率函数作为 (g^-(cdot)) 得到

[y = frac{1}{1+e^{-(oldsymbol{w}^Toldsymbol{x} + b)}} ag{1.3} ]

[ln frac{y}{1-y} = oldsymbol{w}^Toldsymbol{x} + b ag{1.4} ]

若将 (y) 视为样本 (oldsymbol{x}) 为正例的可能性，则 (1-y) 是其为反例的可能性，两者的比值为

[frac{y}{1-y} ag{1.5} ]

称为几率（odds），反映了 (oldsymbol{x}) 作为正例的相对可能性。对几率取对数得到对数几率（log odds，或 logit）：

[ln frac{y}{1-y} ag{1.6} ]

所以，式 (1.3) 实际上是用线性回归模型的预测结果取逼近真实标记的对数几率，因此其对应的模型又称为对数几率回归（logistic regression， 或 logit regression）。

这种分类学习方法直接对分类可能性进行建模，无需事先假设数据分布，避免了假设分布不准确带来的问题；
它能得到近似概率预测，这对需要利用概率辅助决策的任务很有用；
对率函数是任意阶可导的凸函数，有很好的数学性质，许多数值优化算法都可直接用于求解最优解。

1.1 求解 ω 和 b

将式 (1.3) 中的 (y) 视为类后验概率估计 (p(y = 1 | oldsymbol{x}))，则式 (1.4) 可重写为

[ln frac{p(y=1 | oldsymbol{x})}{p(y=0 | oldsymbol{x})} = oldsymbol{w}^Toldsymbol{x} + b ag{1.7} ]

有

[p(y=1|oldsymbol{x}) = frac{e^{oldsymbol{w}^Toldsymbol{x} + b}}{1+e^{oldsymbol{w}^Toldsymbol{x} + b}} ag{1.8} ]

[p(y=0|oldsymbol{x}) = frac{1}{1+e^{oldsymbol{w}^Toldsymbol{x} + b}} ag{1.9} ]

通过极大似然法（maximum likelihood method）来估计 (oldsymbol{w}) 和 (b) 。

给定数据集 ({(oldsymbol{x}_i, y_i)}^m_{i=1})，对率回归模型最大化对数似然（log-likelihood）:

[ell(oldsymbol{w},b)=sumlimits_{i=1}^m ln p(y_i|oldsymbol{x}_i;oldsymbol{w},b) ag{1.10} ]

即令每个样本属于其真实标记的概率越大越好。

令 (oldsymbol{eta} = (oldsymbol{w};b))，(hat{oldsymbol{x}} = (oldsymbol{x};1))，则 (oldsymbol{w}^Toldsymbol{x} + b) 可简写为 (oldsymbol{eta}^That{oldsymbol{x}})。再令 (p_1(hat{oldsymbol{x}};oldsymbol{eta}) = p(y=1|hat{oldsymbol{x}};oldsymbol{eta}))，(p_0(hat{oldsymbol{x}};oldsymbol{eta}) = p(y=0|hat{oldsymbol{x}};oldsymbol{eta}) = 1-p_1(hat{oldsymbol{x}};oldsymbol{eta})) 。则式 (1.10) 可简写为：

[p(y_i|oldsymbol{x}_i;oldsymbol{w},b) = y_ip_1(hat{oldsymbol{x}};oldsymbol{eta}) +(1-y_i)p_0(hat{oldsymbol{x}};oldsymbol{eta}) ag{1.11} ]

将式 (1.11) 带入 (1.10)，并根据式 (1.8) 和 (1.9) 可知，最大化式 (1.10) 等价于最小化

[ell(oldsymbol{eta}) = sumlimits_{i=1}^mBig(-y_ioldsymbol{eta}^That{oldsymbol{x}}_i+lnig(1+e^{oldsymbol{eta}^T+hat{oldsymbol{x}}_i}ig)Big) ag{1.12} ]

式 (1.12) 是关于 (oldsymbol{eta}) 的高阶可导凸函数，根据凸优化理论，经典的数值优化算法如梯度下降法（gradient descent method）、牛顿法（Newton method）等都可求得其最优解，于是得到：

[oldsymbol{eta}^{*} = underset{oldsymbol{eta}}{ ext{arg min }}ell(oldsymbol{eta}) ag{1.13} ]

以牛顿法为例， 其第 (t+1) 轮迭代解的更新公式为：

[oldsymbol{eta}^{t+1} = oldsymbol{eta}^t-Big(frac{partial^2ell(oldsymbol{eta})}{partialoldsymbol{eta} partialoldsymbol{eta}^T}Big)^{-1}frac{partialell(oldsymbol{eta})}{partial{oldsymbol{eta}}} ag{1.14} ]

其中关于 (oldsymbol{eta}) 的一阶、二阶导数分别为：

[frac{partialell(oldsymbol{eta})}{partialoldsymbol{eta}} = -sumlimits_{i=1}^mhat{oldsymbol{x}}_i(y_i-p_1(hat{oldsymbol{x}}_i;oldsymbol{eta})) ag{1.15} ]

[frac{partial^2{ell(oldsymbol{eta})}}{partialoldsymbol{eta}partialoldsymbol{eta}^T} = sumlimits_{i=1}^mhat{oldsymbol{x}}_ihat{oldsymbol{x}}_i^Tp_1(hat{oldsymbol{x}}_i;oldsymbol{eta})(1-p_1(hat{oldsymbol{x}}_i;oldsymbol{eta})) ag{1.16} ]

2. 对数几率回归进行垃圾邮件分类

2.1 垃圾邮件分类

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model.logistic import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split, cross_val_score
from sklearn.feature_extraction.text import TfidfVectorizer
from matplotlib.font_manager import FontProperties

df = pd.read_csv("SMSSpamCollection", delimiter='	', header=None)
df.head()

print("spam 数量: ", df[df[0] == 'spam'][0].count())
print("ham 数量: ", df[df[0] == 'ham'][0].count())

spam 数量:  747
ham 数量:  4825

X_train_raw, X_test_raw, y_train, y_test = train_test_split(df[1], df[0])

# 计算TF-IDF权重
vectorizer = TfidfVectorizer()
X_train = vectorizer.fit_transform(X_train_raw)
X_test = vectorizer.transform(X_test_raw)

# 建立模型
classifier = LogisticRegression()
classifier.fit(X_train, y_train)
y_preds = classifier.predict(X_test)

for i, y_pred in enumerate(y_preds[-10:]):
    print("预测类型: %s -- 信息: %s" % (y_pred, X_test_raw.iloc[i]))

预测类型: ham -- 信息: Aight no rush, I'll ask jay
预测类型: ham -- 信息: Sos! Any amount i can get pls.
预测类型: ham -- 信息: You unbelievable faglord
预测类型: ham -- 信息: Carlos'll be here in a minute if you still need to buy
预测类型: spam -- 信息: Meet after lunch la...
预测类型: ham -- 信息: Hey tmr maybe can meet you at yck
预测类型: ham -- 信息: I'm on da bus going home...
预测类型: ham -- 信息: O was not into fps then.
预测类型: ham -- 信息: Yes..he is really great..bhaji told kallis best cricketer after sachin in world:).very tough to get out.
预测类型: ham -- 信息: Did you show him and wot did he say or could u not c him 4 dust?

2.2 模型评估

混淆举证

test = y_test
test[test == "ham"] = 0
test[test == "spam"] = 1

pred = y_preds
pred[pred == "ham"] = 0
pred[pred == "spam"] = 1

from sklearn.metrics import confusion_matrix
test = test.astype('int')
pred = pred.astype('int')
confusion_matrix = confusion_matrix(test.values, pred)
print(confusion_matrix)
plt.matshow(confusion_matrix)
font = FontProperties(fname=r"/usr/share/fonts/opentype/noto/NotoSansCJK-Regular.ttc")
plt.title(' 混淆矩阵',fontproperties=font)
plt.colorbar()
plt.ylabel(' 实际类型',fontproperties=font)
plt.xlabel(' 预测类型',fontproperties=font)
plt.show()

[[1191    1]
 [  50  151]]

精度

from sklearn.metrics import accuracy_score

print(accuracy_score(test.values, pred))

0.9633883704235463

交叉验证精度

df = pd.read_csv("sms.csv")
df.head()

X_train_raw, X_test_raw, y_train, y_test = train_test_split(df['message'], df['label'])
vectorizer = TfidfVectorizer()
X_train = vectorizer.fit_transform(X_train_raw)
X_test = vectorizer.transform(X_test_raw)
classifier = LogisticRegression()
classifier.fit(X_train, y_train)
scores = cross_val_score(classifier, X_train, y_train, cv=5)
print(' 精度:',np.mean(scores), scores)

 精度: 0.9562200956937799 [0.94736842 0.95933014 0.95574163 0.95574163 0.96291866]

准确率召回率

precisions = cross_val_score(classifier, X_train, y_train, cv=5, scoring='precision')
print('准确率:', np.mean(precisions), precisions)
recalls = cross_val_score(classifier, X_train, y_train, cv=5, scoring='recall')
print('召回率:', np.mean(recalls), recalls)

准确率: 0.9920944081237428 [0.98550725 1.         1.         0.98701299 0.98795181]
召回率: 0.6778796653796653 [0.61261261 0.69642857 0.66964286 0.67857143 0.73214286]

F1 度量

f1s = cross_val_score(classifier, X_train, y_train, cv=5, scoring='f1')
print(' 综合评价指标:', np.mean(f1s), f1s)

 综合评价指标: 0.8048011339652206 [0.75555556 0.82105263 0.80213904 0.8042328  0.84102564]

ROC AUC

from sklearn.metrics import roc_curve, auc
predictions = classifier.predict_proba(X_test)
false_positive_rate, recall, thresholds = roc_curve(y_test, predictions[:, 1])
roc_auc = auc(false_positive_rate, recall)
plt.title('Receiver Operating Characteristic')
plt.plot(false_positive_rate, recall, 'b', label='AUC = %0.2f' % roc_auc)
plt.legend(loc='lower right')
plt.plot([0, 1], [0, 1], 'r--')
plt.xlim([0.0, 1.0])
plt.ylim([0.0, 1.0])
plt.ylabel('Recall')
plt.xlabel('Fall-out')
plt.show()