【bzoj1419】Red is good

问题描述

桌面上初始有$\mathrm{NN张红牌,MM张黑牌,随机打乱顺序。之后我们一张一张地去翻牌,翻到红牌得到11幻想乡币,黑牌则付出11幻想乡币。可以随时停止翻牌。在最优策略下,我们得到的幻想乡币的数量期望是多少。}$

输入格式

一行两个非负整数，表示$\mathrm{NN和MM。}$

输出格式

一个数表示答案。

样例输入

1 1

样例输出

0.5

提示

如果第一张是红牌,那直接停止游戏。收益为$\mathrm{1,这种情况的概率是1/2。如果第一张是黑牌,继续翻下去,第二张一定是红牌。收益为0,这种情况的概率是1/2。与答案的差值\le 10-5即视为正确。}$

【数据规模及约定】

$\mathrm{30\%的数据保证n,m\le 10；}$

$\mathrm{60\%的数据保证n,m\le 100；}$

$\mathrm{100\%的数据保证n,m\le 1000。}$

题解

f[i][j]表示剩下i张红牌，j张黑牌的最大期望值，

f[i][j]=max(((f[i-1][j]+1)*i+(f[i][j-1]-1)*j)/(i+j),0)

如果当前翻的是红牌，收益为f[i-1][j]+1，概率为i/(i+j)，期望为(f[i-1][j]+1)*i/(i+j)

如果当前翻的是黑牌，收益为(f[i][j-1]-1，概率为j/(i+j)，期望为(f[i-1][j]+1)*j/(i+j)

总期望为(f[i-1][j]+1)*i/(i+j)+ (f[i-1][j]+1)*j/(i+j)

即((f[i-1][j]+1)*i+(f[i][j-1]-1)*j)/(i+j)

初始化 f[0][j]=0  f[i][0]=i

为什么要和零比较呢？

翻牌可以随时停止，那么最优策略就是保证期望非负。

即如果当前翻完牌后期望为负，那么显然不翻更优。

所以如果当前期望为负，就置为零。

#include <cstdio>
double f[1005][1005];
int n,m;
double max(double x,double y)
{
    return x>y?x:y;
}
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (i=1;i<=n;i++) f[i][0]=i*1.0;
    for (i=1;i<=n;i++)
      for (j=1;j<=m;j++)
        f[i][j]=max(((f[i-1][j]+1)*i+(f[i][j-1]-1)*j)/(i+j),0.0);
    printf("%.8f",f[n][m]);
    return 0;
}