POJ 3709 K-Anonymous Sequence (单调队列优化)

题意：给定一个不下降数列，一个K，将数列分成若干段，每段的数字个数不小于K，每段的代价是这段内每个数字减去这段中最小数字之和。求一种分法使得总代价最小？

思路:F[i]表示到i的最小代价。f[i]=min(f[j]+sum[i]-sum[j]-(i-j)*a[j+1]);(i-j>=K)

对于j1,j2,j1<j2且j2更优得

f[j1]+sum[i]-sum[j1]-(i-j1)*a[j1+1]>f[j2]+sum[i]-sum[j2]-(i-j2)*a[j2+1]

得到:

f[j1]-sum[j1]+a[j1+1]*j1)-(f[j2]-sum[j2]+a[j2+1]*j2)>=i*(a[j1+1]-a[j2+1])

可以用单调队列维护.

由于每一层需要K个，所以我们延迟入队的时间.

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define ll long long
long long f[1000005],sum[1000005],a[1000005];
int c[1000005];
int n,K,T;
ll G(int j,int k){
    return f[j]-sum[j]+j*a[j+1]-(f[k]-sum[k]+k*a[k+1]);
}
ll S(int j,int k){
    return a[j+1]-a[k+1];
}
int main(){
    scanf("%d",&T);
    while (T--){
        scanf("%d%d",&n,&K);
        sum[0]=0;
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%I64d",&a[i]);
        for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i],f[i]=0;
        int h=0,t=0;
        c[t++]=0;f[0]=0;
        for (int i=1;i<=n;i++){
            while (h<t-1&&G(c[h],c[h+1])>=i*S(c[h],c[h+1])) h++;    
            f[i]=(ll)f[c[h]]+sum[i]-sum[c[h]]-(i-c[h])*a[c[h]+1];        
            if (i>=2*K-1) c[t++]=i-K+1;
            for (int j=t-2;j>h;j--){
             int x=c[j-1],y=c[j],z=c[j+1];
             if (G(x,y)*S(y,z)>=G(y,z)*S(x,y)) c[j]=c[--t];
             else break;
            }
        }
        printf("%I64d
",f[n]);
    }
}