From Gossip@caterpillar
Algorithm Gossip: 费式数列
说明
Fibonacci为1200年代的欧洲数学家,在他的著作中曾经提到:“若有一只免子每个月生一只小免子,一个月后小免子也开始生产。起初只有一只免 子,一个月后就有两只免子,二个月后有三只免子,三个月后有五只免子(小免子投入生产)......”。
如果不太理解这个例子的话,举个图就知道了,注意新生的小免子需一个月成长期才会投入生产,类似的道理也可以用于植物的生长,这就是Fibonacci数 列,一般习惯称之为费氏数列,例如以下:
1、1 、2、3、5、8、13、21、34、55、89......
解法
依说明,我们可以将费氏数列定义为以下:
fn = fn-1 + fn-2 if n > 1
fn = n if n = 0, 1
演算法
费氏阵列的解法很多,基本上可以使用递回解,演算法最简单,如下:
Procedure FIB(N) [
IF (N < 0)
PRINT ("输入错误");
IF (N = 0 OR N = 1)
RETURN (N);
ELSE
RETURN ( FIB(N-1) + FIB(N-2) );
]
简单,但是不实用,因为太慢了,在求每一个费氏数时,都会发生严重的重覆计算,也就是递回该行 ( FIB(N-1) + FIB(N-2) ),最差的big-o可以到2的n/2次方,画张递回的树状图就可以知道重覆计算的数有多少了。
可以采取非递回的版本,可以将big(o)减至n,演算法如下:
Procedure FIB(N)
a = 1;
b = 1;
FOR i = 2 TO N [
temp = b;
b = a + b;
a = temp;
]
RETURN b;
]
若想要一次列出所有N之前的费氏数,则可以将for回圈的部份改以阵列,也就是:
F(0) = 0;
F(1) = 1;
FOR i<-2 TO N [
F(i) = F(i-1) + F(i-2);
]
费氏阵列并不是使用递回来解一定不好,事实上单就执行次数上来说,有一个使用递回的演算法可以更快 (big(o)是以2为底的Logn值),但是要使用到乘法运算,所以实际上要看所使用的机器而定。
Procedure FIB(N)
IF (n <= 1)
RETURN(n);
IF (n = 2)
RETURN(1);
ELSE [
i = n/2;
f1 = FIB(i+1);
f2 = FIB(i);
IF (n mod 2 = 0)
RETURN( f2*(2*f1-f2) );
ELSE
RETURN ( f1**2+f2**2 );
]
]
您可以实际使用费氏数列来印证演算法中的那两条公式,其中f1**2表示f1的平方;若将递回的树状图画出来,就像这样:
另外费氏数列还有公式解,导证方式就不提了:
您说,如果免子不只生一只小免子的话怎么办?像这种问题,我们可以将费氏数列加以扩充,称之为扩充费氏数列:
fn = X * fn-1 + Y * fn-2 if n > 1
fn = 1 if n = 0, 1
当X、Y等于1时,自然就是一般的费氏数列了。
想了解费氏数列与自然界神奇的关系,可以造访这个 网页。
实作
- C
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 20
int main(void) {
int Fib[N] = {0};
int i;
Fib[0] = 0;
Fib[1] = 1;
for(i = 2; i < N; i++)
Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2];
for(i = 0; i < N; i++)
printf("%d ", Fib[i]);
printf("
");
return 0;
}
- Java
public class Fibonacci {
public static void main(String[] args) {
int[] fib = new int[20];
fib[0] = 0;
fib[1] = 1;
for(int i = 2; i < fib.length; i++)
fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
for(int i = 0; i < fib.length; i++)
System.out.print(fib[i] + " ");
System.out.println();
}
}