• Algorithm Gossip: 费式数列


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    Algorithm Gossip: 费式数列

    说明

    Fibonacci为1200年代的欧洲数学家,在他的著作中曾经提到:“若有一只免子每个月生一只小免子,一个月后小免子也开始生产。起初只有一只免 子,一个月后就有两只免子,二个月后有三只免子,三个月后有五只免子(小免子投入生产)......”。 

    如果不太理解这个例子的话,举个图就知道了,注意新生的小免子需一个月成长期才会投入生产,类似的道理也可以用于植物的生长,这就是Fibonacci数 列,一般习惯称之为费氏数列,例如以下: 
    1、1 、2、3、5、8、13、21、34、55、89......

    解法

    依说明,我们可以将费氏数列定义为以下: 

    fn = fn-1 + fn-2     if n > 1
    fn = n       if n = 0, 1 

    演算法

    费氏阵列的解法很多,基本上可以使用递回解,演算法最简单,如下: 

    Procedure FIB(N) [
        IF (N < 0)  
            PRINT ("输入错误"); 
    
        IF (N = 0 OR N = 1) 
            RETURN (N); 
        ELSE 
            RETURN ( FIB(N-1) + FIB(N-2) ); 
    ]  
    


    简单,但是不实用,因为太慢了,在求每一个费氏数时,都会发生严重的重覆计算,也就是递回该行 ( FIB(N-1) + FIB(N-2) ),最差的big-o可以到2的n/2次方,画张递回的树状图就可以知道重覆计算的数有多少了。 

    可以采取非递回的版本,可以将big(o)减至n,演算法如下: 

    Procedure FIB(N) 
        a = 1; 
        b = 1; 
        FOR i = 2 TO N [
            temp = b; 
            b = a + b; 
            a = temp; 
        ]
        RETURN b; 
    ] 
    


    若想要一次列出所有N之前的费氏数,则可以将for回圈的部份改以阵列,也就是: 

    F(0) = 0; 
    F(1) = 1; 
    FOR i<-2 TO N [
        F(i) = F(i-1) + F(i-2); 
    ] 
    


    费氏阵列并不是使用递回来解一定不好,事实上单就执行次数上来说,有一个使用递回的演算法可以更快 (big(o)是以2为底的Logn值),但是要使用到乘法运算,所以实际上要看所使用的机器而定。 

    Procedure FIB(N) 
        IF (n <= 1)
            RETURN(n); 
    
        IF (n = 2) 
            RETURN(1); 
        ELSE [ 
            i = n/2; 
            f1 = FIB(i+1); 
            f2 = FIB(i); 
    
            IF (n mod 2 = 0)
                RETURN( f2*(2*f1-f2) ); 
            ELSE 
                RETURN ( f1**2+f2**2 ); 
        ]
    ] 
    


    您可以实际使用费氏数列来印证演算法中的那两条公式,其中f1**2表示f1的平方;若将递回的树状图画出来,就像这样:



    另外费氏数列还有公式解,导证方式就不提了:


    您说,如果免子不只生一只小免子的话怎么办?像这种问题,我们可以将费氏数列加以扩充,称之为扩充费氏数列: 

    fn = X * fn-1 + Y * fn-2      if n > 1
    fn = 1           if n = 0, 1 


    当X、Y等于1时,自然就是一般的费氏数列了。 

    想了解费氏数列与自然界神奇的关系,可以造访这个 网页

    实作

    • C
    #include <stdio.h> 
    #include <stdlib.h> 
    
    #define N 20 
    
    int main(void) { 
        int Fib[N] = {0}; 
        int i; 
    
        Fib[0] = 0; 
        Fib[1] = 1; 
    
        for(i = 2; i < N; i++) 
            Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2]; 
    
        for(i = 0; i < N; i++) 
            printf("%d ", Fib[i]); 
        printf("
    "); 
    
        return 0; 
    } 
    
    • Java
    public class Fibonacci {
        public static void main(String[] args) {
            int[] fib = new int[20]; 
    
            fib[0] = 0; 
            fib[1] = 1; 
    
            for(int i = 2; i < fib.length; i++) 
                fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]; 
    
            for(int i = 0; i < fib.length; i++) 
                System.out.print(fib[i] + " "); 
            System.out.println();
        }
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/qxlxi/p/12861000.html
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