蓝桥杯 买不到的数目 ( 裴蜀定理 )

题意 :

小明开了一家糖果店。他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。

小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。

你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。

本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入格式

两个正整数，表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)

输出格式

一个正整数，表示最大不能买到的糖数

样例输入1

4 7

样例输出1

17

样例输入2

3 5

样例输出2

7

分析 :

首先题目说漏了一些东西

即给出的两个数是互质的

网上的解法大多为 a * b - a - b

如果 a 和 b 没有互质、那就挂了、例如 a = 2、 b = 4

然后来探讨一下这个公式是怎么来的

首先你要知道裴蜀定理即 ax + by 

这个不定方程的解、永远是 gcd(a、b) 的倍数、c = k*gcd(a,b)

但是问题就在于解出来的 x 和 y 可以是负整数

那么有没有什么办法在 x 和 y 都是正数的情况下

解出最小的 c

这里有一个定理

当 gcd(a,b) == 1 的时候、c > a*b-a-b 时、方程有正整数解

所以在 x 和 y 为正整数的时候、组合不出来的数必定是 < a*b-a-b

那么最大的当然就是 a*b-a-b 了

当然一切都要 gcd(a,b) == 1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(void)
{ int a, b; while(cin>>a>>b) cout<<a*b-a-b<<endl; return 0; }