2018 焦作网络赛 L Poor God Water ( AC自动机构造矩阵、BM求线性递推、手动构造矩阵、矩阵快速幂 )

题目链接

题意 :

实际上可以转化一下题意

要求求出用三个不同元素的字符集例如 { 'A' 、'B' 、'C' }

构造出长度为 n 且不包含

AAA、BBB

CCC、ACB

BCA、CAC

CBC

这其中任意一个字符串的方案数

分析 :

方法一 （BM 求线性递推）

直接暴力出前 10 项的答案、然后猜它其实可以由线性递推递推而来

丢进杜教的 BM 模板里面就可以直接求出第 N 项了

实际上这个可以不用猜、这种不包含某些串的题目

如果你做过类似的、就会知道实际上是可以构造出一个矩阵然后快速幂

可以使用矩阵快速幂优化的递推方程大概都可以用 BM 求

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
#include <cassert>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef vector<int> VI;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const ll mod=1000000007;
ll powmod(ll a,ll b) {ll res=1;a%=mod; assert(b>=0); for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;}
// head

ll n;
namespace linear_seq {
    const int N=10010;
    ll res[N],base[N],_c[N],_md[N];

    vector<int> Md;
    void mul(ll *a,ll *b,int k) {
        rep(i,0,k+k) _c[i]=0;
        rep(i,0,k) if (a[i]) rep(j,0,k) _c[i+j]=(_c[i+j]+a[i]*b[j])%mod;
        for (int i=k+k-1;i>=k;i--) if (_c[i])
            rep(j,0,SZ(Md)) _c[i-k+Md[j]]=(_c[i-k+Md[j]]-_c[i]*_md[Md[j]])%mod;
        rep(i,0,k) a[i]=_c[i];
    }
    int solve(ll n,VI a,VI b) { // a 系数 b 初值 b[n+1]=a[0]*b[n]+...
        ll ans=0,pnt=0;
        int k=SZ(a);
        assert(SZ(a)==SZ(b));
        rep(i,0,k) _md[k-1-i]=-a[i];_md[k]=1;
        Md.clear();
        rep(i,0,k) if (_md[i]!=0) Md.push_back(i);
        rep(i,0,k) res[i]=base[i]=0;
        res[0]=1;
        while ((1ll<<pnt)<=n) pnt++;
        for (int p=pnt;p>=0;p--) {
            mul(res,res,k);
            if ((n>>p)&1) {
                for (int i=k-1;i>=0;i--) res[i+1]=res[i];res[0]=0;
                rep(j,0,SZ(Md)) res[Md[j]]=(res[Md[j]]-res[k]*_md[Md[j]])%mod;
            }
        }
        rep(i,0,k) ans=(ans+res[i]*b[i])%mod;
        if (ans<0) ans+=mod;
        return ans;
    }
    VI BM(VI s) {
        VI C(1,1),B(1,1);
        int L=0,m=1,b=1;
        rep(n,0,SZ(s)) {
            ll d=0;
            rep(i,0,L+1) d=(d+(ll)C[i]*s[n-i])%mod;
            if (d==0) ++m;
            else if (2*L<=n) {
                VI T=C;
                ll c=mod-d*powmod(b,mod-2)%mod;
                while (SZ(C)<SZ(B)+m) C.pb(0);
                rep(i,0,SZ(B)) C[i+m]=(C[i+m]+c*B[i])%mod;
                L=n+1-L; B=T; b=d; m=1;
            } else {
                ll c=mod-d*powmod(b,mod-2)%mod;
                while (SZ(C)<SZ(B)+m) C.pb(0);
                rep(i,0,SZ(B)) C[i+m]=(C[i+m]+c*B[i])%mod;
                ++m;
            }
        }
        return C;
    }
    int gao(VI a,ll n) {
        VI c=BM(a);
        c.erase(c.begin());
        rep(i,0,SZ(c)) c[i]=(mod-c[i])%mod;
        return solve(n,c,VI(a.begin(),a.begin()+SZ(c)));
    }
};

int main() {
    vector<int>v;
    v.push_back(3);
    v.push_back(9);
    v.push_back(20);
    v.push_back(46);
    v.push_back(106);
    v.push_back(244);
    v.push_back(560);
    v.push_back(1286);
    v.push_back(2956);
    v.push_back(6794);
    int nCase;
    scanf("%d", &nCase);
    while(nCase--){
        scanf("%lld", &n);
        printf("%lld
",1LL * linear_seq::gao(v,n-1) % mod);
    }
}

方法二 （AC自动机构造矩阵 + 矩阵快速幂）

如果你做过 POJ 2778 那么你就能够知道这个题目

实际上将不合法的字符串丢到 AC 自动机里面去就可以构造出矩阵了

然后进行快乐的矩阵快速幂就阔以了

下面代码并非 AC 代码、只是使用 AC 自动机构造矩阵的代码

且代码大部分都使用了我写过的 POJ 2778 的代码、输入形式可看代码最后注释

#include<queue>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;

const int Max_Tot = 1e4 + 10;
const int Letter  = 3;
const int MOD = 1e9+7;
int maxn;
int mp[256];

struct mat{ int m[111][111]; }unit, M;

mat operator * (mat a, mat b)
{
    mat ret;
    long long x;
    for(int i=0; i<maxn; i++){
        for(int j=0; j<maxn; j++){
            x = 0;
            for(int k=0; k<maxn; k++){
                x = (x + ((long long)a.m[i][k]%MOD * b.m[k][j]%MOD)%MOD)%MOD;
            }
            ret.m[i][j] = x % MOD;
        }
    }
    return ret;
}

inline void init_unit() { for(int i=0; i<maxn; i++) unit.m[i][i] = 1; }

mat pow_mat(mat a, int n)
{
    mat ret = unit;
    while(n){
        if(n&1) ret = ret * a;
        a = a*a;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

struct Aho{
    struct StateTable{
        int Next[Letter];
        int fail, flag;
    }Node[Max_Tot];
    int Size;
    queue<int> que;

    inline void init(){
        while(!que.empty()) que.pop();
        memset(Node[0].Next, 0, sizeof(Node[0].Next));
        Node[0].fail = Node[0].flag = 0;
        Size = 1;
    }

    inline void insert(char *s){
        int now = 0;
        for(int i=0; s[i]; i++){
            int idx = mp[s[i]];
            if(!Node[now].Next[idx]){
                memset(Node[Size].Next, 0, sizeof(Node[Size].Next));
                Node[Size].fail = Node[Size].flag = 0;
                Node[now].Next[idx] = Size++;
            }
            now = Node[now].Next[idx];
        }
        Node[now].flag = 1;
    }

    inline void BuildFail(){
        Node[0].fail = 0;
        que.push(0);
        while(!que.empty()){
            int top = que.front();  que.pop();
            if(Node[ Node[top].fail ].flag) Node[top].flag = 1;///如果当前节点的Fail指针指向的节点也是末尾节点，那么这个节点也是不合法的！

            for(int i=0; i<Letter; i++){
                if(Node[top].Next[i]){
                    if(top == 0) Node[ Node[top].Next[i] ].fail = 0;
                    else{
                        int v = Node[top].fail;
                        while(v != -1){
                            if(Node[v].Next[i]){
                                Node[ Node[top].Next[i] ].fail = Node[v].Next[i];
                                break;
                            }v = Node[v].fail;
                        }if(v == -1) Node[ Node[top].Next[i] ].fail = 0;
                    }que.push(Node[top].Next[i]);
                }else Node[top].Next[i] = top!=0?Node[ Node[top].fail ].Next[i]:0;///多了这一句！
            }
        }
    }

    inline void BuildMatrix(){
        for(int i=0; i<Size; i++)
            for(int j=0; j<Size; j++)
                M.m[i][j] = 0;
        for(int i=0; i<Size; i++){
            for(int j=0; j<Letter; j++){
                if(!Node[i].flag && !Node[ Node[i].Next[j] ].flag)
                    M.m[i][Node[i].Next[j]]++;
            }
        }
        maxn = Size;
    }

}ac;

char S[11];
int main(void)
{
    mp['A']=0,
    mp['B']=1,
    mp['C']=2;
    int n, m;
    while(~scanf("%d %d", &m, &n)){
        ac.init();
        for(int i=0; i<m; i++){
            scanf("%s", S);
            ac.insert(S);
        }
        ac.BuildFail();
        ac.BuildMatrix();

        for(int i=0; i<9; i++){
            for(int j=0; j<9; j++){
                printf("%d ", M.m[i][j]);
            }puts("");
        }puts("");

        init_unit();
        M = pow_mat(M, n);

//        for(int i=0; i<10; i++){
//            for(int j=0; j<10; j++){
//                printf("%d ", M.m[i][j]);
//            }puts("");
//        }puts("");

        int ans = 0;
        for(int i=0; i<ac.Size; i++)
            ans = (ans + M.m[0][i])%MOD;
        ans %= MOD;
        printf("%d
", ans);
    }
    return 0;
}
/*输入 7 和 n 然后输入字符集、就能出答案*/
/**
7 15
AAA
BBB
CCC
ACB
BCA
CAC
CBC
*/

方法三 （手动构造矩阵 + 矩阵快速幂）

首先使用各种手段抓一个聪明伶俐的队友过来

此队友需要在矩阵构造方面颇有灵性

把题目交给他翻译、构思、打代码

等待 15 分钟左右、最后即可得到 Accept