本文参考自http://hi.baidu.com/lsjsuper/blog/item/4ca2c2773584ef08b051b9bd.html，并进行了补充说明与完善，目的在于帮助大家更好的理解推导过程^-^！大家可以看完原文再看本文，也可以直接看本文，谢谢！
推导过程中我们使用的是左手坐标系。
现在，我们假设3D空间中有一点P要绕任意轴A进行旋转，如图:
图1
首先我们将P看成从原点出发的自由向量，将其分解为平行于轴A与垂直于轴A的分量A1，A2的形式，如图:
图2
向量加法的几何解释为: u + v = 将向量v平移，使其始端与u的末端重合，u + v就是自向量u的始端指向平移后的向量v的末端的向量。
所以，由图2可以知道:
(公式1)
现在，我们先来求A1。我们知道，一个向量 = 该向量的模 * 该向量对应的单位向量。所以
(式1)
假设A1与点P之间的夹角为θ，根据图2，可以知道
(式2)。所以合并式1，式2后我们可以得到
由于A1向量是点P相对于A轴的平行投影，所以A1的单位向量与A的单位向量是相同的，于是，我们得到
。
因为一个向量的单位向量 = 该向量 / 该向量的模，所以
，此时，我们把A当做单位向量来对待，那么A的模就是1。所以，
(公式2)
而根据公式1可求得
(公式3)
由于平行分量A1在旋转过程中是不会变的，所以关键就在于垂直分量A2。现将P旋转θ度后效果如图:
图3: P绕A轴旋转θ度，P'为旋转后的点
根据上文提到的向量加法几何解释，我们知道:
(公式4)
A1我们上面已经求过了，现在只要求出A3，那么就能求出旋转后的点P'。
因为A2到A3的旋转是在垂直于A轴平面内进行的，所以可以将A3分解为A2与A2逆时针方向旋转90度的向量A4上的两个分量的形式。如图:
图4
我们先来求A4。根据图2，我们知道
(公式5)
而A4是A2逆时针旋转90度而来的向量，所以A4的模 = A2的模。所以
(公式6)
根据图4，我们可以发现
(公式7)。这样，A4与A4的模都求完了。
接下来就要求A3了，我们用一个垂直于A的平面图来看一下，这样更直接，如图:
图5
A2'与A4'分别为A3在A2与A4上的分量。
根据上文提到的向量的几何解释，我们知道
(公式8)
并且由于一个向量 = 该向量的模 * 该向量对应的单位向量，我们可以求得A2'和A4':
(公式9)
(公式10)
因为A3，A4都是A2旋转得到的向量，所以它们3者的模相同，所以我们可以简化公式9和公式10，得到:
(公式11)
(公式12)
现在，我们可以总结了。首先，将我们求得的各项结果代入公式4，得到:
将上面的式子合并整理后，得到:
(公式13)
现在，我们假设如下:
我们来把上面总结整理的式子写入矩阵，首先，写第一项:
(公式14)
第二项:
(公式15)
第三项:
(公式16)
最后，把3项代入公式13，即得:
最后，我们求得了绕任意轴旋转的变换矩阵:
