洛谷P3128 [USACO15DEC]Max Flow P 题解 树上差分（点差分）

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3128

题目大意：

给定一个包含 \(n\) 个节点的树，以及 \(k\) 次操作。每次操作你需要将一条路径上的点权均加 \(1\)。求 \(k\) 次操作之后的最大点权。

解题思路：

树上差分（点差分）。对于一条路径的两个端点 \(u\) 和 \(v\)，设 \(p\) 是它们的LCA，设 \(p'\) 是 \(p\) 的父节点（若 \(p\) 为根节点则 \(p' = p\)）。

开差分数组 \(d\)，则 \(d[u]\) 和 \(d[v]\) 依次加 \(1\)，\(d[p]\) 和 \(d[p']\) 依次减 \(1\)。

最后对这棵树进行差分（dfs遍历一遍即可）。

示例程序：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 500050;
int n, m, pa[maxn][21], dep[maxn];
vector<int> g[maxn];
int d[maxn], ans;
void dfs(int u, int p) {
    dep[u] = dep[p] + 1;
    pa[u][0] = p;
    for (int i = 1; (1<<i) <= dep[u]; i ++)
        pa[u][i] = pa[ pa[u][i-1] ][i-1];
    for (auto v : g[u])
        if (v != p)
            dfs(v, u);
}
int lca(int x, int y) {
    if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
    for (int i = 20; i >= 0; i --) {
        if (dep[ pa[x][i] ] >= dep[y]) x = pa[x][i];
        if (x == y) return x;
    }
    for (int i = 20; i >= 0; i --) {
        if (pa[x][i] != pa[y][i]) {
            x = pa[x][i];
            y = pa[y][i];
        }
    }
    return pa[x][0];
}
void dfs2(int u, int p) {
    for (auto v : g[u])
        if (v != p)
           dfs2(v, u), d[u] += d[v];
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i < n; i ++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, 0);
    while (m --) {
        int u, v, p;
        cin >> u >> v;
        p = lca(u, v);
        d[u] ++;
        d[v] ++;
        d[p] --;
        d[pa[p][0]] --;
    }
    dfs2(1, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        ans = max(ans, d[i]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}