洛谷P2899 Cell Phone Network G 题解

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2899

题目大意：给你一棵树，在树中选择一些节点，使得树中的每个节点要么是选择的节点，要么和至少一个选择的节点相邻。求：最少选择节点个数。

解题思路：树形DP。对于每个节点 (u)，定义状态：

• (f_{u,0})：以 (u) 为根的子树中，(u) 没有选但是 (u) 的父节点选了（假设 (u) 有父节点）的情况下的最小选择节点数；
• (f_{u,1})：以 (u) 为根的子树中，(u) 选择了的情况下的最小选择节点数；
• (f_{u,2})：以 (u) 为根的子树中，(u) 没有选，但是 (u) 的所有子节点中至少有一个选择了的情况下的最小选择节点数。

则，状态转移方程为（用 (v) 来表示左右 (u) 的子节点集合中的元素）：

(f_{u,0})

(f_{u,0} = sumlimits_{v} min{ f_{v,1}, f_{v,2} })

• 因为此时 (u) 没有选，但是它的（即将到来的）父节点会选，所以对于 (u) 的子节点 (v) 来说，可以选（(f_{v,1})）也可以不选，但是不选的情况下因为 (u) 和 (v) 都没有选了，所以必须得保证 (v) 至少有一个子节点是选择了的（对应状态 (f_{v,2})）

(f_{u,1})

(f_{u,1} = sumlimits_{v} min{ f_{v,0}, f_{v,1} })

• 在 (u) 选了的情况下，它的子节点 (v) 可以选（对应状态 (f_{v,1})）也可以不选，但是不选的时候对于 (v) 来说它的父节点是选择了的（刚好对应 (f_{v,0})）

(f_{u,2})

(f_{u,2}) 的计算比较特殊一点。

• 若 (u) 的子节点 (v) 中存在至少一个节点 (v) 满足 (f_{v,1} le f_{v,0})，则说明可以在选择 (v) 的情况下达到 (f_{u,0}) 的最小是，则此时 (f_{u,2} = f_{u,0})；
• 否则（所有 (v) 都是 (f_{v,1} gt f_{v,0})），则需要选择一个 (f_{v,1} - f_{v,0}) 最小的一个 (v)（设为 (v')），(f_{u,2} = f_{u,0} - f_{v',0} + f_{v', 1})

当然，其中还存在一些不合法的情况，比如叶子节点的 (f_{u,2}) 就不可能存在，将其设为 (+ infty) 即可（我代码中设为了 (n)，因为所有的状态都不会超过 (n)）。

示例程序：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 10010;
int n, f[maxn][3];
vector<int> g[maxn];
void dfs(int u, int p) {
    f[u][0] = f[u][2] = 0;
    f[u][1] = 1;
    bool flag = false;
    for (auto v : g[u]) {
        if (v != p) {
            dfs(v, u);
            f[u][0] += min(f[v][1], f[v][2]);
            f[u][1] += min(f[v][0], f[v][1]);
            if (f[v][1] <= f[v][2]) flag = true;
        }
    }
    if (flag) f[u][2] = f[u][0];
    else {
        f[u][2] = n;
        for (auto v : g[u]) {
            if (v != p) {
                f[u][2] = min(f[u][2], f[u][0] - f[v][2] + f[v][1]);
            }
        }
        if (f[u][2] == 0) f[u][2] = n;
    }
}
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i < n; i ++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, -1);
    cout << min(f[1][2], f[1][1]) << endl;
    return 0;
}