我对“错排问题”的理解

思路来自 百度百科 中的一段话：

设 (n) 个数的错排方案数为 (D_n)，

第一步，考虑第 (n) 个元素，把它放在某一个位置，比如位置 (k) ，一共有 (n-1) 种放法；

第二步，考虑第 (k) 个元素，这时有两种情况：

（1）把它放到位置 (n) ，那么对于除 (n) 以外的 (n-1) 个元素，由于第 (k) 个元素放到了位置 (n) ，所以剩下 (n-2) 个元素的错排即可，有 (D_{n-2}) 种放法；
（2）第 (k) 个元素不放到位置 (n) ，这时对于这 (n-1) 个元素的错排，有 (D_{n-1}) 种放法。

根据乘法和加法法则，综上得到

[D_n = (n-1) imes ( D_{n-2} + D_{n-1} ) ]

然后我的理解是这样的，我把问题变成了下面的这样一个问题：

假设现在有 (n) 对亲兄妹，(n) 个哥哥的编号为 (1 sim n), (n) 个妹妹的编号为 (1 ~ n)，现在你要给这 (2 imes n) 个人凑成 (n) 对夫妻，要求亲兄妹不能结婚，求方案数？

我们假设 (n) 对亲兄妹凑成 (n) 对夫妻的方案数为 (D_n)，那么我们现在可以考虑：

给我们 (n) 对亲兄妹，我现在要给编号为 (n) 的哥哥找媳妇，那么编号为 (1 sim n-1) 的妹妹都可以当做编号为 (n) 的哥哥地媳妇。

假设我选择了编号为 (k) 的妹妹和编号为 (n) 的哥哥配对，则现在有编号为 (k) 的哥哥和编号为 (n) 的妹妹落单了。

这个时候我有 (2) 种选择：

选择一：编号为 (k) 的哥哥和编号为 (n) 的妹妹配对。

这种情况下，其它的 (n-2) 对还需要错排，所以这种方式下的错排方案是 (D_{n-2})。

情景：(n)哥哥和(k)妹妹结婚去了，临走之前(n)哥哥做了一个媒，将自己的(n)妹妹嫁给了(k)哥哥。（凑成了 (2) 对，剩下 (n-2) 对）

选择二：编号为 (k) 的哥哥和编号不为 (n) 的妹妹配对。

这种情况下，就是编号为 (k) 的哥哥不能和编号为 (n) 的妹妹配对，那么这个时候就跟他们是亲兄妹是一样的。

情景：(n)哥哥临走之前想要将自己的(n)妹妹嫁给(k)哥哥，但是被拒绝了，然后(n)哥哥说：“既然你不想娶她，那么你就跟她认一个兄妹吧”，然后(k)哥哥就变成了(n)妹妹的哥哥，然后就又变成了 (n-1) 对兄妹的错排问题。

两种选择是互斥的，他们汇总之后就是在选择 (n) 哥哥和 (k) 妹妹的错排总方案：

[D_{n-2} + D_{n-1} ]

外加 (k) 一共有 (n-1) 种选择，根据乘法原理，错排问题的方案数：

[D_n = (n - 1) imes ( D_{n-2} + D_{n-1} ) ]