bzoj 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

HINT

Source

然而弱渣还是不会斜率优化。。。

跟诗人小G一模一样。。。

这题是可以用last轻松水过的。。。

做这个题只是纯粹为了练一练二分栈的板子，具体题解见诗人小G。

下面有斜率优化版。。。初学者可以参考

// MADE BY QT666
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<set>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#define lson num<<1
#define rson num<<1|1
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100050;
int gi()
{
  int x=0,flag=1;
  char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
  return x*flag;
}
struct data{int l,r, p;}q[N];
int a[N],f[N];
int n,L;
int cal(int j,int i){
  return f[j]+(i-j-1+a[i]-a[j]-L)*(i-j-1+a[i]-a[j]-L);
}
int find(data t,int x){
    int l=t.l,r=t.r;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)>>1;
        if(cal(t.p,mid)<cal(x,mid))
            l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    return l;
}
main()
{
    n=gi(),L=gi();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=gi(),a[i]+=a[i-1];
    int head=1,tail=0;
    q[++tail]=(data){0,n,0};
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(head<=tail&&i>q[head].r)head++;
        f[i]=cal(q[head].p,i);
        if(head>tail||cal(i,n)<=cal(q[tail].p,n)){
            while(head<=tail&&cal(i,q[tail].l)<=cal(q[tail].p,q[tail].l))
                tail--;
            if(head>tail)
                q[++tail]=(data){i,n,i};
            else{
                int t=find(q[tail],i);
                q[tail].r=t-1;
                q[++tail]=(data){t,n,i};
            }
        }
    }
    printf("%lld",f[n]);
}

 蒟蒻终于get了斜率优化。。。

推斜率方程：

f[j]+(s[i]-s[j]-L)^2<=f[k]+(s[i]-s[k]-L)^2;

展开

f[j]+(s[j]+L)^2-2*s[i]*(s[j]+L)+s[i]^2<=f[k]+(s[k]+L)^2-2*s[i]*(s[k]+L)+s[i]^2;

消掉两边相同的

f[j]+(s[j]+L)^2-2*s[i]*s[j]<=f[k]+(s[k]+L)^2-2*s[i]*s[k];

发现f[j]+(s[j]+L)^2只跟j有关

我们用换元：

令y(j)=f[j]+(s[j]+L)^2;

有两个相乘的,我们把系数2*s[i]看做一个斜率K;

再令x(j)=s[j];

那么原不等式化为:

y(j)-K*x(j)<=y(k)-K*x(k);

移项后得到：

K*(x(k)-x(j))<=y(k)-y(j);

1.当x(k)>x(j)时,K<=(y(k)-y(j))/(x(k)-x(j));

2.当x(k)<x(j)时,K>=(y(k)-y(j))/(x(k)-x(j));

然后玄学的力量就引导我们用一个单调队列维护凸包。。。

代码附上：

真正的线的神教在最下面(千万不要错过)：

// MADE BY QT666
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<set>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#define lson num<<1
#define rson num<<1|1
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100050;
int gi()
{
  int x=0,flag=1;
  char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
  return x*flag;
}
int sum[N],f[N],q[N],L;
int Y(int x){
    return f[x]+(sum[x]+L)*(sum[x]+L);
}
int X(int x){
    return sum[x];
}
double cal(int j,int k){
    return (Y(k)-Y(j))/(2.0*(X(k)-X(j)));
}
main()
{
    int n=gi();L=gi();L++;
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=gi()+sum[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]+=i;
    int head=1,tail=0;q[++tail]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(head<tail&&cal(q[head],q[head+1])<=sum[i]) head++;
        int t=q[head];
        f[i]=f[t]+(sum[i]-sum[t]-L)*(sum[i]-sum[t]-L);
        while(head<tail&&cal(q[tail],i)<cal(q[tail-1],q[tail])) tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld
",f[n]);
}

 方程：

f[j]+(a[i]-a[j]-L)^2;
展开

f[j]+a[i]^2-2*a[i]*(a[j]+L)+(a[j]+L)^2;

整理

f[j]+a[j]^2+2*a[j]*L-2*a[i]*a[j]+a[i]*a[i]-2*a[i]*L;

利用线的套路：

b=f[j]+a[j]^2+2*a[j]*L,k=-2*a[j],x=a[i],常数为：a[i]*a[i]-2*a[i]*L;

简短有力，附上代码：

// MADE BY QT666
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<set>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#define lson num<<1
#define rson num<<1|1
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100050;
int gi()
{
  int x=0,flag=1;
  char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
  return x*flag;
}
struct data{int k,x,b;}g[N],q[N];
int n,L,f[N],a[N];
main()
{
	n=gi(),L=gi();L++;
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=gi()+a[i-1];
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]+=i,g[i].k=-2*a[i],g[i].x=a[i];
	int head=1,tail=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(head<tail&&q[head].k*g[i].x+q[head].b>=q[head+1].k*g[i].x+q[head+1].b)
			head++;
		f[i]=q[head].k*g[i].x+q[head].b+a[i]*a[i]-2*a[i]*L+L*L;
		g[i].b=f[i]+a[i]*a[i]+2*a[i]*L;
		while(head<tail&&(g[i].b-q[tail].b)*(q[tail-1].k-q[tail].k)<=(q[tail].b-q[tail-1].b)*(q[tail].k-g[i].k))
			tail--;
		q[++tail]=g[i];
	}
	printf("%lld",f[n]);
}