USACO 【Summing Sums G】

题目link：https://www.luogu.com.cn/problem/P6202

本题推式子即可。

首先先模拟一下密码更新的过程，设一共有 $n$ 头牛，密码初始值分别为 $c[1]$ , $c[2]$ , $c[3]$ , $...$ , $c[n]$，密码初始的总和为$sum$（以后的式子都用初始值表达，也就是说这些参数不会更新）；

这里只给了最后的结果，中间过程省略，但是注意这里有些是需要因式分解得出的。

第一次更新：

$c[i]$ $=$ $sum$ $-$ $c[i]$；

$sum$ $=$ $sum$ $*$ $(n$ $-$ $1)$； 

第二次更新：

$c[i]$ $=$ $sum$ $*$ $(n$ $-$ $2)$ $+$ $c[i]$；

$sum$ $=$ $sum$ $*$ $(n$ $-$ $1)$²；

第三次更新：

$c[i]$ $=$ $sum$ $*$ $(n$² $-$ $3$ $*$ $n$ $+$ $3)$ $-$ $c[i]$；

$sum$ $=$ $sum$ $*$ $(n$ $-$ $1)$³；

第四次更新：

$c[i]$ $=$ $sum$ $*$ $(n$³ $-$ $4$ $*$ $n$² $+$ $6$ $*$ $n$ $-$ $4)$ $+$ $c[i]$；

$sum$ $=$ $sum$ $*$ $(n$ $-$ $1)$⁴；

………………

通过模拟发现第偶数次更新时，$c[i]$ 的值中有一项是 $+$ $c[i]$，而其他项都与 $c[i]$ 无关，这样计算更新后 $c[i]$ 的值与 $c[i]$ 的差，都是一样的。而找规律发现 $sum$ 的值是有规律的，因此计算出更新后的 $sum$ 与 $sum$ 的差值然后除以 $n$，就是一个 $c[i]$ 更新的值，输出 $c[i]$ $+$ 这个值即可；如果是奇数次更新的话，那么先偶数次更新，再按题意模拟一下即可。公式也就能写出来了，就是$c[i]$ $+$ $sum$ $*$ $[(n$ $-$ $1)$^T $-$ $1]$ $/$ $n$。（注意判断奇偶）

$code$（目前有点$bug$，只有$20$分）：

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MOD 98765431
#define ll long long
using namespace std;
int T, n;
ll c[50010], sum;
ll ksm(int x, int y)
{
    ll ans = 1;
    for(; y; y >>= 1, x = x * x % MOD)
        if(y & 1)
            ans = ans * x % MOD;
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &T);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%lld", &c[i]), sum += c[i], sum %= MOD;
    if(T & 1)
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            printf("%lld
", (sum * ksm(n - 1, T - 1) % MOD - (c[i] + sum * (ksm(n - 1, T - 1) - 1) / n % MOD) % MOD) % MOD);
    }
    else
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            printf("%lld
", (c[i] + sum * (ksm(n - 1, T) - 1) / n) % MOD);
    }
    return 0;
}