洛谷 P4035 【球形空间产生器】

这道题虽然看起来很是抽象，但是实际意思还是比较好理解的。

对于一个在$n$维空间中的点，它相当于是一个有$n$个参数的点，就像在二维空间中的点有$x$坐标和$y$坐标，三位空间中的点有$x$坐标，$y$坐标，$z$坐标，四维有$x$坐标，$y$坐标，$z$坐标，$k$坐标…………

题目中给了一个在$n$维的球，以及$n$ $+$ $1$个在球面上的点的坐标，求球心的坐标。

想象一下比较容易想出来的二维、三维的球，容易发现球面上的点到球心的距离都相等，当然n维球也同理。

不妨设这个球心的坐标为(x[1], x[2], x[3]......x[n])，给定的n + 1个点的坐标为(q[1][1], q[1][2], q[1][3]......q[1][n]), (q[2][1], q[2][2], q[2][3]......q[2][n]), (q[3][1], q[3][2], q[3][3]......q[3][n])......(q[n + 1][n], q[n + 1][2], q[n + 1][3]......q[n + 1][n])。

根据题目中距离的定义，以及刚刚得出的n维球球面上的点到球心的距离都相等的结论，可得（带根号麻烦，直接都平方了）：

$(q[1][1]$ $-$ $x[1])$² $+$ $(q[1][2]$ $-$ $x[2])$² $+$ $(q[1][3]$ $-$ $x[3])$² $+$ $......$ $+$ $(q[1][n]$ $-$ $x[n])$²

                                                    $|$ $|$

$(q[2][1]$ $-$ $x[1])$² $+$ $(q[2][2]$ $-$ $x[2])$² $+$ $(q[2][3]$ $-$ $x[3])$² $+$ $......$ $+$ $(q[2][n]$ $-$ $x[n])$²

                                                    $|$ $|$

$(q[3][1]$ $-$ $x[1])$² $+$ $(q[3][2]$ $-$ $x[2])$² $+$ $(q[3][3]$ $-$ $x[3])$² $+$ $......$ $+$ $(q[3][n]$ $-$ $x[n])$²

                                                    $|$ $|$

                                           $............$

                                                    $|$ $|$

$(q[n$ $+$ $1][1]$ $-$ $x[1])$² $+$ $(q[n$ $+$ $1][2]$ $-$ $x[2])$² $+$ $(q[n$ $+$ $1][3]$ $-$ $x[3])$² $+$ $......$ $+$ $(q[n$ $+$ $1][n]$ $-$ $x[n])$²

将平方打开后，观察到等式的每一项都一个(x[1]² + x[2]² + x[3]² + ...... + x[n]²)，可以将它消掉，化简得：

$q[1][1]$² $+$ $q[1][2]$² $+$ $q[1][3]$² $+$ $......$ $+$ $q[1][n]$² $-$ $2$ $*$ $q[1][1]$ $*$ $x[1]$ $-$ $2$ $*$ $q[1][2]$ $*$ $x[2]$ $-$ $2$ $*$ $q[1][3]$ $*$ $x[3]$ $-$ $......$ $-$ $2$ $*$ $q[1][n]$ $*$ $x[n]$

                                                    $|$ $|$

$q[2][1]$² $+$ $q[2][2]$² $+$ $q[2][3]$² $+$ $......$ $+$ $q[2][n]$² $-$ $2$ $*$ $q[2][1]$ $*$ $x[1]$ $-$ $2$ $*$ $q[2][2]$ $*$ $x[2]$ $-$ $2$ $*$ $q[2][3]$ $*$ $x[3]$ $-$ $......$ $-$ $2$ $*$ $q[2][n]$ $*$ $x[n]$

                                                    $|$ $|$

$q[3][1]$² $+$ $q[3][2]$² $+$ $q[3][3]$² $+$ $......$ $+$ $q[3][n]$² $-$ $2$ $*$ $q[3][1]$ $*$ $x[1]$ $-$ $2$ $*$ $q[3][2]$ $*$ $x[2]$ $-$ $2$ $*$ $q[3][3]$ $*$ $x[3]$ $-$ $......$ $-$ $2$ $*$ $q[3][n]$ $*$ $x[n]$

                                                    $|$ $|$

                                           $............$

                                                    $|$ $|$

$q[n$ $+$ $1][1]$² $+$ $q[n$ $+$ $1][2]$² $+$ $q[n$ $+$ $1][3]$² $+$ $......$ $+$ $q[n$ $+$ $1][n]$² $-$ $2$ $*$ $q[n$ $+$ $1][1]$ $*$ $x[1]$ $-$ $2$ $*$ $q[n$ $+$ $1][2]$ $*$ $x[2]$ $-$ $2$ $*$ $q[n$ $+$ $1][3]$ $*$ $x[3]$ $-$ $......$ $-$ $2$ $*$ $q[n$ $+$ $1][n]$ $*$ $x[n]$

但这样并不方便去求解，因此可以将它们转化成两两相等的形式，最后化简为：