欧几里得算法
即辗转相除法，证明如下。
基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
第一种证明：
a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
乘法逆元
乘法逆元官方定义：
群G中任意一个元素a，都在G中有唯一的逆元a‘,具有性质aa'=a'a=e，其中e为群的单位元。
然而百度百科非常人性化，它还有配套的例子！
例子如下：
例如：4关于1模7的乘法逆元为多少？
4X≡1 mod 7
这个方程等价于求一个X和K，满足
4X=7K+1
其中X和K都是整数。
这就很容易理解了。
如果有ax≡1(modp)，则称x是mod p意义下a的乘法逆元。
其实就是a乘一个数在什么情况下％p什么时候＝1。
改变一下形式就是ax＝pk＋1的一组解，求x即可。
通过费马小定理，可以得到一个新的算法。
即(a/b)%p=1;但是我们无法直接求1/b的值，所以我们就把b/1设成c，只须求ac%p=1即可。
费马小定理可得：b%p的逆元 = b^p-2（mod p）;
1 const int mod = 1000000009;
2 long long quickpow(long long a, long long b) {
3 if (b < 0) return 0;
4 long long ret = 1;
5 a %= mod;
6 while(b) {
7 if (b & 1) ret = (ret * a) % mod;
8 b >>= 1;
9 a = (a * a) % mod;
10 }
11 return ret;
12 }
13 long long inv(long long a) {
14 return quickpow(a, mod - 2);
15 }
同样逆元可以线性求，即为积性函数求法。
代码如下
1 const int mod = 1000000009;
2 const int maxn = 10005;
3 int inv[maxn];
4 inv[1] = 1;
5 for(int i = 2; i < 10000; i++)
6 inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;
最近做的组合数的题，如果用杨辉三角预处理计算是n^2算法会爆，需要用阶乘和逆元分别求分母分子。
阶乘其实就是将阶乘的最后一位用费马小定理求逆元，然后按位往前求，每次乘上一位的位置即可。
代码如下
1 inv[maxn]=mod_pow(fac[maxn],mod-2);
2 for(ll i=maxn-1;i>=0;i--)
3 inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%mod;