APIO2020

做贺了一下，作文以记之。

1. [APIO2020]粉刷墙壁

   • 题意：

     直观描述一下：就是 \(M\) 个人，可以涂一些特定颜色的墙，看成一个环，可以从任意处断开成 \(M\) 个数的数列。 有 \(N\) 个面的墙，对于一连续段长度为 \(M\) 的面，如果 \(M\) 个人可以依次涂这些墙，就代表这一次刷墙是合法的。求最小刷墙次数。

   1. 能发现区间的长度是固定的，任意区间的关系只有相交或分离，求最小覆盖次数，这里面有类似单调性的玩意，这样就很容易有贪心的算法, 类似的有 P4155 [SCOI2015]国旗计划。

   2. 问题在于求哪些区间合法。

      一开始一直在想暴力 bitset。其实题目限制埋伏了一手，经过一些推导，发现每一面墙最大只有 \(700\) 个人能涂。

      考虑dp，状态是 \(f_{i, j}\) 第 \(i\) 面墙到 第 \(j\) 个人的时候最多涂了多少墙，能发现状态是 \(N \times M\), 转移时就能利用这个条件优化，空间上就用滚动数组优化。

2. P6765 [APIO2020]交换城市

   • 题意：

     连通图，两点相互到达各自的点，不能相遇，不是同时走(其中一个点可以不动),每个询问求经过的边的最大值最小。

   1. 首先有想法按照小到大将边加入，再判断能否相互到达，不过这样没有什么前途，虽说有单调性，但整体二分好像做不了。

   2. 其实感觉这种题就是要推充要条件，实际上，两点能相互到达当且仅当两点所在连通块不是一条链。大概就是链的话一定会相遇，如果多出来一个点，那么让一个点暂时待在这个点，等到另一个点路过这个点，再让它出来。

   3. 剩下的问题就是判断连通块是不是链，和解决最大值最小，这时就能想到kruskal重构树，它可以同时解决连通性相关和边权最小/大值的一些问题。按照小到大进行建树即可，维护连通块是不是链应该不是很难，还有一些建树的小问题。最后树上lca即可。

3. P6766 [APIO2020]有趣的旅途

   • 题意：

     给出 \(N\), 表示这是 \(N\) 个点的二叉树。

     可以询问两点距离和能支配的点的个数。

     在 \(4 \times 10^5\) 次询问内，求出 \(N\) 个元素排列 \(p\), 满足任意 \(i > 2\), \(\text{dis}(p_i, p_{i - 1}) \geq \text{dis}(p_{i - 1}, p_{i - 2})\)，即随着 \(i\) 变大，两点的距离不升。

   1. 实际上没有啥算法能在 \(4N\) 次询问内求出原树，求出树的直径也没事好的想法。

   2. 考虑重心，假如求出重心 \(r\), 它只有两个儿子，那么大小一定分别为 \(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor, \lceil\frac{n}{2}\rceil\), 这时只用从较大的子树开始，轮流取深度最大的点，可以发现这样一定满足题意。

   3. 如果他有三个儿子，这时就要分类讨论了。

   • 加入最大的子树大小等于其余两个子树的和，将两个子树合并，按时上面方法即可。

   • 加入最大的子树大小小于其余两个子树的和, 每次在和上一个子树不同的子树内取深度最大的点，总会存在加入最大的子树大小等于其余两个子树的和的情况，这时就可以采用上面的方法。

     但是还要考虑上一次选的子树，来决定这时从哪里开始。

     还有一种特殊情况，假如上一次选的是合并两个子树中的某一个，另一个子树最大深度比大小最大的子树的最大深度大，要再次选回合并两个子树的另一个。

   • 加入最大的子树大小大于其余两个子树的和, 由于重心的定义，这里最大出现大于 \(1\), 在先在最大子树内取一个即可。

   4. 找重心：

      • 在所有 \(n - siz_i <= \frac{n}{2}\) 并且 \(siz_i\) 最小的点是重心。

      考虑以点 \(u\) 为根，而实际上的重心为 \(v\)。

      那么只有 \(u,v\) 之间的路径上的点的 \(siz\) 大于 \(\frac{n}{2}\)。

      而 \(siz\) 从浅到深递减，故 \(siz \geq \frac{n}{2}\) 且最小的那个，即为 \(u,v\) 之间路径的最低点： 重心 \(v\)。
      ------ command_block

      所以以 \(0\) 为根，求出每个点的子树的大小，按照上面的方法在 \(n\) 次询问求出。

   5. 求每个点到重心的距离 花费 \(n\) 次。

   6. 求每个点在哪个子树，如果有重心三个儿子，不在第一第二个，就一定在第三个，所以最多两次询问，花费 \(2n\) 次。

总结一下吧：

1. 题目限制很重要。

2. 都是交互题的形式，会用交互了，多写能试出平常难以发现的错误， cerr是个好东西。

3. 对于判定合法问题，最好找充要条件，一般来说不会很复杂。

4. 有关树的交互题，一般都是利用树的直径，重心的性质，按照一定的贪心策略。

5. 分类讨论很重要，一步一步思考清楚，老是因为分类讨论出小错误挂，上次 div2 就是这样(好像每次都是这样)。