[SCOI2010] 股票交易

题目类型：DP+单调队列优化

传送门：>Here<

题意：共有(T)天，每天可以选择买股票或卖股票。如果有一天买了或卖了则称这一天是进行交易的。任何进行交易的两天之间必须间隔(W)天。第(i)天最多买进(as)股，卖出(bs[i])股。第(i)天的进价为(ap[i])，卖出价是(bp[i])。且规定任何一天都不可以拥有超过(maxP)股。在如上的条件限制下，要求(T)天后最多赚多少

解题思路

题目就烦的要命

读了几遍后，自然而然想到(dp[i][j])表示前(i)天的最大收益，且第(i)天拥有(j)股。这样转移就非常方便了，无非分为那么几种情况

• 不买不卖。选择继承，则有$$dp[i][j]=dp[i-1][j]$$

• 买进。这里的买进要分两种情况来讨论，在前(W+1)天里，只能买进而不能卖出，并且只有一天能够交易。因此买进全都是亏钱的。这个部分可以作为初始化：$$dp[i][j]=-jAP[i]$$要么就是在后来，可以在已有的基础上选择买进。假设是在拥有(p)股的基础上的，则$$dp[i][k]=Max{dp[i-W-1][p]-(k-p)AP[i]}$$注意我们并没有枚举从哪一天转移而来。为什么？因为对于所有(i<j)，一定满足(dp[i][x] leq dp[j][x])。因为这之间我们可以选择不买，也就是继承。只要是继承就不可能变小，因此没有必要枚举从哪一天转移来了

• 卖出。卖出就不可能在前(W+1)天了，因此只需要考虑有基础的情况。设原有(q)股，则$$dp[i][k]=Max{dp[i-W-1][q]+(q-k)*BP[i]}$$

确定了基本方程以后，我们还需要知道各个循环变量的范围。(i,k)的范围都显然，关键是(p,q)。

先来考虑(p)。既然是选择买进，所以一定(p<k)。并且那一天最多买进(AS[i])，所以有不等式(k-p leq AS[i])成立，也就是(p geq k-AS[i])因此$$k-AS[i] leq p < k$$

那么(q)也一样。易得(q>k)，并且(q-k leq BS[i])。因此$$k<q leq BS[i]+k$$

至此，复杂度(O(n^3))，能拿到(70)分

考虑优化。我们就买进的方程进行讨论，观察方程我们发现，这个方程的实质就是(p)在范围([k-AS[i],k))中取(dp[i-W-1][p]-(k-p)*AP[i])的最大值。很容易让我们想到滑动窗口，对吗？因此我们提取出只与(p)有关的项，将方程化为(dp[i-W-1][p]+p*AP[i] - k*AP[i])。并且我们发现滑动的正好是扫描(k)的那一层，也就是(i)是确定的。换句话说(p)是(k)的过去。因此维护滚动最大值即可！

对于(q)也一样，但是(q)是需要由大的往小的转移，因此应当倒着扫。

Code

边界条件还是非常难的，还要多加谨慎

/*By DennyQi 2018.8.21*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define  r  read()
#define  Max(a,b)  (((a)>(b)) ? (a) : (b))
#define  Min(a,b)  (((a)<(b)) ? (a) : (b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 2010;
const int INF = 1061109567;
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register int c = getchar();
    while(c ^ '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = (x<<3) + (x<<1) + c - '0', c = getchar(); return x * w;
}
int T,maxP,W,P,Q;
int AP[MAXN],BP[MAXN],AS[MAXN],BS[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN],q[2][MAXN],h[2],t[2];
int main(){
	T = r, maxP = r, W = r;
	memset(dp, -0x3f, sizeof dp);
	for(int i = 1; i <= T; ++i){
		AP[i] = r, BP[i] = r;
		AS[i] = r, BS[i] = r;
	}
	dp[0][0] = 0;
	for(int i = 1; i <= T; ++i){
		for(int j = 0; j <= AS[i]; ++j) dp[i][j] = -j * (AP[i]);
		for(int k = 0; k <= maxP; ++k) dp[i][k] = Max(dp[i][k], dp[i-1][k]);
		h[0] = h[1] =  1, t[0] = t[1] = 0;
		if(i-W-1 < 0) continue;
		for(int k = 0; k <= maxP; ++k){
			while(h[0] <= t[0] && q[0][h[0]] < k - AS[i]) ++h[0];
			while(h[0] <= t[0] && dp[i-W-1][q[0][t[0]]] + q[0][t[0]]*AP[i] <= dp[i-W-1][k]+k*AP[i]) --t[0];
			q[0][++t[0]] = k;
			if(h[0] <= t[0]) dp[i][k] = Max(dp[i][k], dp[i-W-1][q[0][h[0]]] - (k-q[0][h[0]]) * AP[i]);
		}
		for(int k = maxP; k >= 0; --k){
			while(h[1] <= t[1] && q[1][h[1]] > BS[i]+k) ++h[1];
			while(h[1] <= t[1] && dp[i-W-1][q[1][t[1]]] + q[1][t[1]]*BP[i] <= dp[i-W-1][k]+k*BP[i]) --t[1];
			q[1][++t[1]] = k;
			if(h[1] <= t[1]) dp[i][k] = Max(dp[i][k], dp[i-W-1][q[1][h[1]]] + (q[1][h[1]]-k) * BP[i]);
		}
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 0; i <= maxP; ++i){
		ans = Max(ans, dp[T][i]);
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}