传送门:>Here<
题意:询问给出一棵无根树上任意两点$a,b$,求关于所有点$i$,$dist(a,i) = dist(b,i)$的点的数量。要求每一次询问在$O(log n)$的时间复杂度内完成。
解题思路
由于在树上求距离,并且还要$O(log n)$,自然会联想到$LCA$。由于边权是$1$,那么点到根的距离就是该点的深度。这个深度可以在$dfs$预处理的过程中处理完成。那么两个点之间的距离就是两个点到根节点的距离减去两点的LCA到根节点距离的两倍。这个随便yy一下就好了。
得到$a,b$间的距离$D$以后,分类讨论。(设$a$的深度$geq b$的深度)
(1)若$D$为奇数,则一定不存在任何一个点到$a,b$的距离相等。因此得到$0$.
(2)若$D$为偶数:
(一)$a,b$两点分别在$LCA$的两棵子树上。
①$a,b$两点深度相同。此时很简单,最近的一个距离相等的点就是$a,b$的$LCA$。也很容易想到$LCA$的祖先也全都符合。但真的只有这些吗?$LCA$的祖先的其他儿子好像也满足诶……$LCA$的其他子树(除了$a,b$)好像也满足诶……因此我们得到结论,在这种情况下得到的答案应当是$n - size[LCA的左子树] - size[LCA的右子树]$
②深度不同。那么我们找到中间节点$Mid$,$Mid$里除有$a$的子树外其他子树都符合,并且$Mid$以上的节点都不会符合,因此答案是$size[Mid] - size[有a的那棵子树]$
(二)$a,b$在同一条链上,即$b$就是$LCA$
和①类似,中间深度的节点减去含$a$的子树即可
因此我们要做的不过是在$dfs$的过程中维护好$size$和$dep$。但一直困惑我的是有$a$的那个子树怎么快速得到?答案其实很暴力……再倍增一遍……
Code
太坑了!调试了一个多小时竟然是因为$LCA$的预处理dfs中$(1<<i)$打成了$i$,导致$TLE$得莫名其妙。还是$LCA$板子不熟啊……
/** This Program is written by QiXingZhi **/ #include <cstdio> #include <queue> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> #define r read() #define Max(a,b) (((a)>(b)) ? (a) : (b)) #define Min(a,b) (((a)<(b)) ? (a) : (b)) using namespace std; typedef long long ll; const int N = 100010; const int INF = 1061109567; inline int read(){ int x = 0; int w = 1; register int c = getchar(); while(c ^ '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar(); if(c == '-') w = -1, c = getchar(); while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) +(x << 1) + c - '0', c = getchar(); return x * w; } int n,x,y,ans; int f[N][30],dep[N],size[N]; vector <int> G[N]; inline void AddEdge(int u, int v){ G[u].push_back(v); } void LcaInit(int x, int father, int _d){ dep[x] = _d; f[x][0] = father; size[x] = 1; for(int i = 1; (1<<i) <= _d; ++i){ f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1]; } int sz,to; sz = G[x].size(); for(int i = 0; i < sz; ++i){ to = G[x][i]; if(to == father) continue; LcaInit(to,x,_d+1); size[x] += size[to]; } } inline int GetDepNode(int x, int _d){ int tmp = x; for(int i = 25; i >= 0; --i){ if(dep[tmp]-(1<<i) < _d) continue; tmp = f[tmp][i]; } return tmp; } inline void LCA(int a, int b){ if(dep[a] < dep[b]){ swap(a,b); } int _a = a, _b = b; for(int i = 25; i >= 0; --i){ if(dep[a]-(1<<i) < dep[b]) continue; a = f[a][i]; } int LCA; if(a == b){ LCA = a; } else{ for(int i = 25; i >= 0; --i){ if(f[a][i] == f[b][i]) continue; a = f[a][i]; b = f[b][i]; } LCA = f[a][0]; } int Dist = dep[_a]-dep[LCA]+dep[_b]-dep[LCA]; if(Dist & 1){ ans = 0; return; } else{ if(_b == LCA){ int dep_Mid = (dep[_a] + dep[_b]) / 2; ans = size[GetDepNode(_a,dep_Mid)] - size[GetDepNode(_a,dep_Mid+1)]; } else{ if(dep[_a] != dep[_b]){ int dep_Mid = dep[_a] - (Dist/2); ans = size[GetDepNode(_a,dep_Mid)] - size[GetDepNode(_a,dep_Mid+1)]; } else{ ans = n - size[GetDepNode(_a,dep[LCA]+1)] - size[GetDepNode(_b,dep[LCA]+1)]; } } } } int main(){ n = r; for(int i = 1; i < n; ++i){ x = r, y = r; AddEdge(x,y); AddEdge(y,x); } LcaInit(1,0,1); int Q = r; while(Q--){ x = r, y = r; ans = 0; if(x != y){ LCA(x,y); printf("%d ",ans); } else{ printf("%d ",n); } } return 0; }