• 【转】欧式空间与酉空间——概念区分


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    欧式空间:

    设V是实数域R上的线性空间,在V上任意两向量x、y按某一确定法则对应于唯一确定是的实数,称为内积,记为(x,y),满足以下性质:
    1)对称性(x,y)=(y,x);
    2)可加性(x+y,z)=(x,z)+(y,z);
    3)齐次性(k x,y)=k(x,y),k为任意实数;
    4)非负性(x,x)≥ 0,当且仅当x=0时有(x,x)= 0.
    定义了内积的实线性空间V,叫实内积空间即欧式空间(有限维或无限维)。
    欧式空间的子空间仍是欧式空间

    酉空间:

    设V是复数域C上的线性空间,在V上任意两向量x、y按某一确定法则对应于唯一确定是的复数,称为内积,记为(x,y),满足以下性质:
    共轭对称性(x,y)= ;
    可加性(x+y,z)=(x,z)+(y,z);
    齐次性(k x,y)=k(x,y),k为任意复数;
    非负性(x,x)≥ 0,当且仅当x=0时有(x,x)= 0.
    定义了内积的复线性空间V,叫复内积空间即酉空间(有限维或无限维)。

    酉空间和欧式空间统称为内积空间。

    定义AH=ATAH=A−T (共轭转置),如果AHA=AAH=IAHA=AAH=I ,则称AA 为酉矩阵

    如果AH=AAH=A ,则称A为Hermite矩阵,如果AH=AAH=−A ,则称AA 为反Hermite矩阵。
    (Hermite矩阵指的是自共轭矩阵。矩阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。)

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