背包的硬币问题

首先说没限制的硬币问题吧:

先看这个问题：在一个国家仅有1分，2分，3分硬币，将钱N兑换成硬币有很多种兑法。请你编程序计算出共有多少种兑法。

我们用dp[n]表示用这些硬币组成n的方法总数。。。。

然后随着硬币种类的增加来更新dp[]的值，也就是最外面的一层循环for(i :1-->3)开始初始化的时候没有硬币，然后新来了面值为1的硬币，接着又来了面值为2的硬币。。。。

显然，每新增加一种面值的硬币，dp[]的值一定在增加。。。新的dp[] = 未新增前的dp[] + dp[1件新增硬币] +  dp[2件新增硬币] + dp[3件新增硬币] +.......

dp[k件新增硬币]

由于for里用了完全背包里的顺序，for(j = c[i]; j <= n; j++)，所以dp[j] += dp[j - c[i]];中的dp[j - c[i]]已经是有k件新增硬币的状态了。。。。。

即j不停地向右，开始的时候得到只有一个新增硬币而组成n的总数，然后由只有1个新增硬币的结果得到只有2个新增硬币而组成n的总数，慢慢地,。。。。得到由越来越多件新增硬币组成n的总数得到的dp[i]就是该容量下的总数了

HDU 1284 : http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1284

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const int M = 32768 + 10;

int dp[M];

int main()
{
    int n;
    while (~scanf("%d", &n))
    {
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= 3; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                dp[j] += dp[j - i];
            }
        }

        printf("%d\n", dp[n]);
    }
    return 0;
}

HDU 1028 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const int M = 120 + 10;

int dp[M];

int main()
{
    int n;
    while (~scanf("%d", &n))
    {

        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0] = 1;

        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = i; j <= n; j++)
            {
                dp[j] += dp[j - i];
            }
        }

        printf("%d\n", dp[n]);
    }
    return 0;
}

HDU 1398 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

const int M = 300 + 10;

int dp[M];

int main()
{
    int n;
    while (~scanf("%d", &n), n)
    {

        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0] = 1;

        int max = (int)sqrt(n * 1.0);
        for (int i = 1; i <= max; i++)
        {
            for (int j = i * i; j <= n; j++)
            {
                dp[j] += dp[j - i * i];
            }
        }

        printf("%d\n", dp[n]);
    }
    return 0;
}

接着是有总数限制的硬币问题如HDU 2069 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2069

他要求硬币总数不超过100

 这时候我们就要增加一个维度来限制数量，dp[i][j]表示用不超过i个硬币组成j的总数

最外一层枚举硬币总类和上面一样的道理，dp[num][j] += dp[num - 1][j - c[i]]这里是对于新来的每一个硬币，= 放这个硬币的总数+不放这个硬币的总数，

d[num-1][j-c[i]]是之前已经更新到有k-1个新硬币的了，而这个式子只针对地k个新硬币所以num-1是未放这个新硬币之前的答案,即dp[j - c[i]]放的都只是放一个硬币

（第k个新硬币）得到的总数

然后答案要累加不超过i:0-->100得到的总数,一定要从0开始累加，因为数据有0个硬币的总数

代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

const int M = 300 + 10;

int dp[111][M];
int c[] = {0, 1, 5, 10, 25, 50};

int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    int n;
    while (~scanf("%d", &n))
    {

        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0][0] = 1;

        for (int i = 1; i <= 5; i++)//枚举硬币总类
        {
            for (int num = 1; num <= 100; num++)//枚举硬币个数
            {
                for (int j = c[i]; j <= n; j++)//枚举容量
                {

                    dp[num][j] += dp[num - 1][j - c[i]];
                }
            }
        }


        int ans = 0;
        for (int i = 0; i <= 100; i++)//累加答案
        {
            ans += dp[i][n];
        }

        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}