[LeetCode] 118. 杨辉三角

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题目描述

给定一个非负整数 numRows，生成杨辉三角的前 numRows 行。

在杨辉三角中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例 :

输入: 5
输出:
[
[1],
[1,1],
[1,2,1],
[1,3,3,1],
[1,4,6,4,1]
]

分析与代码

• 杨辉三角的五条性质

  • 第 n 行的数字个数为 n。
  • 左右数字对称，从 1 开始到 1 结束。
  • 第 n 行的第 k 个数字为 (C_{n-1}^{k-1}) 。
  • 第 n 行数字之和为 (2^{n-1})。
  • 除了每行的第一个数字和最后一个数字，第 n 行的第 k 个数字等于第 n - 1 行的第 k - 1 个数字与第 n - 1 行的第 k 个数字之和。

• 创建 triangle 集合作为返回值，保存每行结果。

  List<List<Integer>> triangle = new ArrayList<>();

解法一：迭代

• 先处理第一行，如果 numRows 为 0，直接返回空的 triangle，否则加入第一行。
• 从第二行起，每行第一个和最后一个都是 1，中间数字则由前一行的求出。
• 返回 triangle。

代码：

class Solution {
    public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
        List<List<Integer>> triangle = new ArrayList<>();
        if (numRows == 0) {
            return triangle;
        }
        triangle.add(new ArrayList<Integer>(1));
        triangle.get(0).add(1);
        for (int i = 1; i < numRows; i++) {
            List<Integer> row = new ArrayList<>(i + 1);
            row.add(1);
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                row.add(triangle.get(i - 1).get(j - 1) + triangle.get(i - 1).get(j));
            }
            row.add(1);
            triangle.add(row);
        }
        return triangle;
    }
}

解法二：递归

• 其实就是把循环的部分写成递归函数，每次调用generate(numRows - 1)，直到回到第一层，然后再往下生成。
• 递归终止条件就是回到第一行，或 numRows == 0。

代码：

class Solution {
    public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
        List<List<Integer>> triangle = new ArrayList<>();
        if (numRows == 0) {
            return triangle;
        }
        if (numRows == 1) {
            triangle.add(new ArrayList<Integer>(1));
            triangle.get(0).add(1);
            return triangle;
        }
        triangle = generate(numRows - 1);
        List<Integer> row = new ArrayList<>(triangle.size() + 1);
        row.add(1);
        for (int j = 1; j < triangle.size(); j++) {
            row.add(triangle.get(triangle.size() - 1).get(j - 1) + triangle.get(triangle.size() - 1).get(j));
        }
        row.add(1);
        triangle.add(row);
        return triangle;
    }
}

小结

迭代法可以归类为动态规划，用前一行构造每一行。

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