1 从什么叫“维度”说开来
我们不断提到一些语言，比如说：随机森林是通过随机抽取特征来建树，以避免高维计算；再比如说，sklearn中导入特征矩阵，必须是至少二维；上周我们讲解特征工程，还特地提到了，特征选择的目的是通过降维来降低算法的计算成本……这些语言都很正常地被我用来使用，直到有一天，一个小伙伴问了我，”维度“到底是什么？对于数组和Series来说，维度就是功能shape返回的结果，shape中返回了几个数字，就是几维。索引以外的数据，不分行列的叫一维（此时shape返回唯一的维度上的数据个数），有行列之分叫二维（shape返回行x列），也称为表。一张表最多二维，复数的表构成了更高的维度。当一个数组中存在2张3行4列的表时，shape返回的是(更高维，行，列)。当数组中存在2组2张3行4列的表时，数据就是4维，shape返回(2,2,3,4)。
数组中的每一张表，都可以是一个特征矩阵或一个DataFrame，这些结构永远只有一张表，所以一定有行列，其中行是样本，列是特征。针对每一张表，维度指的是样本的数量或特征的数量，一般无特别说明，指的都是特征的数量。除了索引之外，一个特征是一维，两个特征是二维，n个特征是n维。
对图像来说，维度就是图像中特征向量的数量。特征向量可以理解为是坐标轴，一个特征向量定义一条直线，是一维，两个相互垂直的特征向量定义一个平面，即一个直角坐标系，就是二维，三个相互垂直的特征向量定义一个空间，即一个立体直角坐标系，就是三维。三个以上的特征向量相互垂直，定义人眼无法看见，也无法想象的高维空 间。
降维算法中的”降维“，指的是降低特征矩阵中特征的数量。上周的课中我们说过，降维的目的是为了让算法运算更快，效果更好，但其实还有另一种需求：数据可视化。从上面的图我们其实可以看得出，图像和特征矩阵的维度是可以相互对应的，即一个特征对应一个特征向量，对应一条坐标轴。所以，三维及以下的特征矩阵，是可以被可视化的，这可以帮助我们很快地理解数据的分布，而三维以上特征矩阵的则不能被可视化，数据的性质也就比较难理解。
2 sklearn中的降维算法
sklearn中降维算法都被包括在模块decomposition中，这个模块本质是一个矩阵分解模块。在过去的十年中，如果要讨论算法进步的先锋，矩阵分解可以说是独树一帜。矩阵分解可以用在降维，深度学习，聚类分析，数据预处理，低纬度特征学习，推荐系统，大数据分析等领域。在2006年，Netflflix曾经举办了一个奖金为100万美元的推荐系统算法比赛，最后的获奖者就使用了矩阵分解中的明星：奇异值分解SVD。
SVD和主成分分析PCA都属于矩阵分解算法中的入门算法，都是通过分解特征矩阵来进行降维，它们也是我们今天要讲解的重点。虽然是入门算法，却不代表PCA和SVD简单：下面两张图是我在一篇SVD的论文中随意截取的两页，可以看到满满的数学公式（基本是线性代数）。我会用最简单的方式为大家呈现降维算法的原理，但这注定意味着大家无法看到这个算法的全貌，在机器学习中逃避数学是邪道，所以更多原理大家自己去阅读。