DFT公式的一个简单示例

一个简单的离散傅里叶变换公式如下面所示

X(k) = ∑_<N>x(n)e^-j2πkn/N, k = 0,1,2```N-1

傅里叶变换用于分析时域信号中的频域成分，即从时域信号x(n)得到频域信号X(k)

这里的∑_<N>表示对求和项从n=0加到N-1，为N点傅里叶变换，输入时域信号为N个，输出频域信号也为N个

看一个简单的例子

x(t) = sin(2π*1000*t) + 0.5sin(2π*2000*t+3*π/4)

它由一个1kHz的信号和一个2kHz的信号组成，频率成分非常明显，所以我们能一眼看出，而有些信号则不是那么明显，则可以借助傅里叶变换来求出频率成分

此处以该简单例子验证，也可以说是做一个简单的傅里叶变换的演示。

为了对该信号进行处理，我们需要对它进行采样，假设采样频率为f_s=8kHz，以n为采样得到的值的索引，并以此为变量重新表示上述信号为

x(n) = sin(2π*1000*n/8000) + 0.5sin(2π*2000*n/8000+3*π/4)

并设N=8即做8个点的DFT变换，下面我们将借助MATLAB工具进行计算和演示

首先我们使用MATLAB画出x(t)的波形，如下图

图中x轴的数字为我为了绘制该波形所用到的信号的个数，不要与时间单位秒对应，知道这里显示了两个周期的信号即可

下面再给出一组8点DFT输入信号的图示

图中的8个点即我们使用8倍于信号周期（8kHz）采样所得到的一个周期的样本，利用这8个数据，我们便可以利用DFT求得其频率成分

在MATLAB中，直接调用FFT并将结果用图形显示如下，FFT为计算DFT的一种快速算法，其结果和直接使用DFT是一样的

如上图，我们可以看到，计算的结果和我们已知吻合。计算得到信号中有1kHz和2kHz的频率成分，且幅值前者为后者两倍

这里有个小点，上面4个图除了其中一个都是由FFT的计算结果直接绘制的，由于MATLAB对于0的表示，或者说是机器计算原本应该是0的值，它得到了一个很小的值（这很正常），所以用调用angle函数求得的相位是不正确的，

我直接根据正确的结果而绘制了相位图

关于频域信号的单位，很简单，采样率为f_s的信号做N点DFT，所得到的频域信号单位为

f_analysis(k) = k*f_s/N

对于我们的例子，f_s为8kHz，N为8，则对应X(k)当k为0时为直流量，k为1时为1kHz频率成分，依此类推

从上图我们还可以看到X(k)信号具有某种对称性，准确的关系为

X(k) = X(k+N/2)*

即X(k)与X(k+N/2)共轭，也就是说，对于N点频域信号，只有N/2个点的信号是独立的

所以虽然从图中看出好像是有6kHz和7kHz的信号成分，但实际上是不存在的，这也符合奈奎斯特采样定理，采样频率必须大于两倍的信号频率，从侧面反应出用8kHz去采样最多只能采到4kHz以内的信号

所以我们可以看到，采样率和做几个点的DFT运算很关键，假设我们让N=4，则就得不到1kHz频率成分的情况

最后再解释频域幅值大小与时域幅值大小的关系，这里我们的输入信号为实数信号，对应频域幅值为时域幅值的N/2倍

写在最后，刚刚接触信号处理，写点东西整理下思路。文中的例子来自Lyons的Understanding Digital Signal Processing，这是一本很不错的教材，强烈推荐