剑指offer 整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

题目描述

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

 

思路一：计算区间内每个数含有1的个数，并累加起来。

class Solution {
private:
    int NumberOf1(unsigned int n) {
        int cnt = 0;
        while (n) {
            if (n % 10 == 1) {
                cnt++;
            }
            n /= 10;
        }
        return cnt;
    }
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    {
        int number = 0;
        for (unsigned int i = 1; i <= n; ++i) {
            number += NumberOf1(i);
        }
        return number;
    }
};

思路二：利用数学归纳法，直接对n进行分析，归纳总结规律

例如n=abcde五位数，我们分析百位的c，主要有以下三种情况：

1）当c == 0的时候，比如13013，此时百位出现1的是：00 100 ~ 00 199， 01 100~01 199，……，11 100~ 11 199，12100~12199共1300个，显然这个由高位数字决定，并且受当前位数影响，结果为：（高位数字）乘以（当前位数）；
2）当c == 1的时候，比如13113，此时百位出现1的肯定包括c=0的情况，另外还需要考虑低位的情况即：00100 ~ 00113共114个，结果为：（高位数字）乘以（当前位数）+（低位数字）+1；
3）当c >= 2的时候，比如13213，此时百位出现1的是：00 100 ~ 00 199， 01 100~01 199，……，11 100~ 11 199，12 100 ~ 12 199，13100~13199，共1400个，这个仅由高位数字决定，结果为：（高位数字+1）乘以当前位数。

class Solution {
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    { 
        long long lower, higher, cur;
        long long cnt = 0;
        long long factor = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i *= 10) {
            lower = n % i;
            higher = n / (i * 10);
            cur = (n / i) % 10;
            if (cur == 0) {
                cnt += higher * i;
            } else if (cur == 1) {
                cnt += higher * i + lower + 1;
            } else {
                cnt += (higher + 1) * i;
            }
        }
        return cnt;
    }
};

思路三：数位dp （正在学习中）

class Solution {
    public:
        int dp[30][30];
        int digit[30];
        
        int dfs(int l, int cnt, bool flag) {
            if (l == 0) return cnt;
            if (!flag && ~dp[l][cnt]) return dp[l][cnt];
            int pos = flag ? digit[l] : 9;
            int ret = 0;
            for (int i = 0; i <= pos; i++) {
                ret += dfs(l - 1, cnt + (i == 1), flag && (pos ==i));
            }
            if (!flag) dp[l][cnt] = ret;
            return ret;
        }
        
        int countDigitOne(int n) {
            memset(dp, -1, sizeof(dp));
            int pos = 0;
            while(n) {
                digit[++pos] = n % 10;
                n /= 10;
            }
            return dfs(pos, 0, true);
        }
};