[2020 年百度之星·程序设计大赛 - 初赛一] 1005 -Rotate （期望，树，推公式）
比赛链接：
http://bestcoder.hdu.edu.cn/contests/contest_show.php?cid=889
题意：
思路：
因为(mathit a)序列是单调不减的，所以不存在(i,j=i+1)，使其第(mathit j)个环上的一个黑块与第(mathit i)个环上的多个黑环接触。
反而第(mathit i)个环上的黑块可能会与第(i+1)上的多个黑块有接触。
所以如果把每一个黑色块当成节点，两个黑色块有接触就将其连边，构造了一个森林（若干个树）。
而我们知道对于一个森林：
联通块的个数 (num)= 点数(mathit V) - 边数(mathit E)。
点数我们是可以很简单的基础得出的(V=sum_{i=1}^{n}frac{a_i}{2})
所以问题转化为了求边的数量，即有多少对黑块相互接触。
这里我是通过手画多组样例得出的第(mathit i)层和第(i+1)层的边数期望为(frac{a_i+a_{i+1}}{4})。具体的数学证明我也没找到。
然后带入上式子可以得到(num=(a_1+a_n)/4)。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
// #include <bits/stdc++.h>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define sz(a) int(a.size())
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), ' ', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define chu(x) if(DEBUG_Switch) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl
#define du3(a,b,c) scanf("%d %d %d",&(a),&(b),&(c))
#define du2(a,b) scanf("%d %d",&(a),&(b))
#define du1(a) scanf("%d",&(a));
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) { if (a == 0ll) {return 0ll;} a %= MOD; ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a % MOD;} a = a * a % MOD; b >>= 1;} return ans;}
ll poww(ll a, ll b) { if (a == 0ll) {return 0ll;} ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a ;} a = a * a ; b >>= 1;} return ans;}
void Pv(const vector<int> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%d", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("
");}}}
void Pvl(const vector<ll> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%lld", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("
");}}}
inline long long readll() {long long tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
inline int readint() {int tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
void pvarr_int(int *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%d%c", arr[i], i == n ? '
' : ' ');}}
void pvarr_LL(ll *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%lld%c", arr[i], i == n ? '
' : ' ');}}
const int maxn = 1000010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
#define DEBUG_Switch 0
int a[maxn];
const ll mod = 1e9 + 7;
int main()
{
#if DEBUG_Switch
freopen("C:\code\input.txt", "r", stdin);
#endif
//freopen("C:\code\output.txt","w",stdout);
int t;
t = readint();
while (t--)
{
int n = readint();
repd(i, 1, n)
{
a[i] = readint();
}
ll ans = 1ll * (a[1] + a[n]) * powmod(4ll, mod - 2ll, mod) % mod;
printf("%lld
", ans );
}
return 0;
}