错排:
当n个编号元素放在n个编号位置,错排的方法数记着D(n)
⒈把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有(n-1)种方法;
⒉放编号为k的元素,这时有两种情况:
1°把它放到位置n,那么,对于剩下的(n-1)个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下(n-2)个元素就有D(n-2)种方法;
2°第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这(n-1)个元素,有D(n-1)种方法;
于是有:D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
D(4)=(1+2)·3=9 D(5)=(2+9)·4=44 D(6)=(9+44)·5=265,把前两个错排方法总数加起来乘以前一个被错排的数。
组合数:
__int64 C(int n,int m)
{
if(m<n-m) m=n-m;
__int64 ans=1;
for(int i = m+1;i<=n;i++) ans*=i;
for(int i=1 ;i<=n-m;i++ ) ans /=i;
return ans;
}
题目说:一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.
可见,要用到组合数,Cnm
① 先找到N个新郎中M个错一共有几种,显然是Cnm , ② 然后在求出M个数的错排个数,递推关系:f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2])
代码:
#include<stdio.h>
__int64 C(int n,int m)
{
if(m<n-m) m=n-m;
__int64 ans=1;
for(int i = m+1;i<=n;i++) ans*=i;
for(int i=1 ;i<=n-m;i++ ) ans /=i;
return ans;
}
int main(){
int n,m,N;
__int64 f[21];
f[1]=0;
f[2]=1;
for(int i=3;i<21;i++)
{
f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
}
scanf("%d",&N);
while(N--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
__int64 sum = C(n,m);
// printf("sum=%d
",sum);
printf("%I64d
",f[m]*sum);
}
return 0;
}