hdu 5685 Problem A (逆元)

题目

题意：H(s)=∏i≤len(s)i=1(Si−28) (mod 9973)，求一个字符串 子串(a 位到 b 位的)的哈希值。这个公式便是求字符串哈希值的公式，（字符的哈希值 = 字符的ASCII码 - 28），字符串的哈希值等于字符的哈希值的乘积（ ∏ 这个就是累乘符号 ）。

化简过后的题意就是求一段序列中的区间乘，由于询问次数比较多，直接求乘会超时。

就比如如下代码：

#include<stdio.h>
char s[100010];

int main()
{
    int T,a,b;
    while(~scanf("%d",&T))
    {
        int ans = 1;
        scanf("%s",s+1);
        while(T--){
                ans =1;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            for(int i=a;i<=b;i++)
                ans  = ans * (s[i] - 28 ) % 9973;
                 printf("%d
",ans);
        }

    }
    return 0;
}

所以用前缀乘的方法，例如：0到b 区间的哈希值，除以 0到a 区间的哈希值，得到的就是 a 到 b 的哈希值。

若用preMulit[i]表示前i个序列的前缀乘。要求[l,r]区间内的的数字全乘起来，那么用preMulit[r] / preMulit[l-1] 即可，考虑到取模的问题，用到逆元。

那么我就要问了，为什么考虑到取模的问题，就要用到逆元呢？而且什么是逆元呢？

（看链接）

接下来就是解题代码了

代码一：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=100005;
const ll mod=9973;
ll sum[maxn],inv[maxn],re[maxn];
char s[maxn];
int main()
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;++i)
    {
        inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    }
    int n;
    //freopen("shuju.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        scanf("%s",s+1);
        sum[0]=re[0]=1;
        for(int i=1;s[i]!=0;++i)
        {
            sum[i]=(sum[i-1]*(s[i]-28))%mod;
            re[i]=inv[sum[i]];
        }
        for(int i=0;i<n;++i)
        {
            ll a,b;
            scanf("%lld%lld",&a,&b);
            ll tp=re[a-1];
            printf("%I64d
",(sum[b]*tp)%mod);
        }
    }
    return 0;
}

代码二：（通过extgcd直接求）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=100005;
const ll mod=9973;
ll sum[maxn];
char s[maxn];
void extgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;y=0;
        return;
    }
    extgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
}
ll inv(ll a,ll n)
{
    ll d,x,y;
    extgcd(a,n,x,y);
    return (x+n)%n;
}
int main()
{
    int n;
    //freopen("shuju.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        scanf("%s",s+1);
        sum[0]=1;
        for(int i=1;s[i]!=0;++i)
        {
            sum[i]=(sum[i-1]*(s[i]-28))%mod;
        }
        for(int i=0;i<n;++i)
        {
            ll a,b;
            scanf("%lld%lld",&a,&b);
            ll tp=inv(sum[a-1],mod);
            printf("%I64d
",(sum[b]*tp)%mod);
        }
    }
    return 0;
}