2017.12.7 算法分析----符号三角型问题（回溯法）

算法分析：

符号三角问题：下面都是“-”。 下图是由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形。2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-”。

在一般情况下，符号三角形的第一行有n个符号。符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。

实验提示如下:

void Triangle::Backtrack(int t)

{

  if ((count>half)||(t*(t-1)/2-count>half)) return;

  if (t>n) sum++;

    else

      for (int i=0;i<2;i++) {

        p[1][t]=i;

        count+=i;

        for (int j=2;j<=t;j++) {

          p[j][t-j+1]=p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];

          count+=p[j][t-j+1];

        }

      Backtrack(t+1);

      for (int j=2;j<=t;j++)

        count-=p[j][t-j+1];

      count-=i;

     }

  }

解题思路：

**
1、不断改变第一行每个符号，搜索符合条件的解，可以使用递归回溯

为了便于运算，设+ 为0，- 为1，这样可以使用异或运算符表示符号三角形的关系

++为+即0^0=0, --为+即1^1=0, +-为-即0^1=1, -+为-即1^0=1;

2、因为两种符号个数相同，可以对题解树剪枝，

当所有符号总数为奇数时无解，当某种符号超过总数一半时无解.**

#include <iostream> 
using namespace std; 
class Triangle 
{ 
	private: 
		int n;//第一行的符号数量 
		int **p;//存储+ -号，0表示-，1表示+ 
		int count;//记录+号数量,根据+号数量，可以用i*(i+1)/2-count求出减号数量 
		int sum;//记录+与-数量相等且等于num*(num+1)/4的情况 
		const int half;//加号=等号=总符号数/2 
		
	public: 
	//构造函数 
		Triangle(int n):half(n*(n+1)/4) { 
			this->n=n; 
			count=0; 
			sum=0; 

			p=new int* [n+1]; 
			for(int i=0;i<=n;i++) { 
				p[i]=new int[n+1];//开辟一个num*num的矩阵，用于在回溯过程中记录三角形符号分布 
	} 
} 

//调用回溯算法，并且先判断num*(num+1)/2是否为奇数 
void triangleSolve(); 
void Backtrack(int t);
void display();
};
void Triangle::Backtrack(int t)
{
	if ((count>half)||(t*(t-1)/2-count>half)) return;
		if (t>n) sum++;
		else
			for (int i=0;i<2;i++) {
			p[1][t]=i;
			count+=i;
		for (int j=2;j<=t;j++) {
			p[j][t-j+1]=p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];//相同则为1，不同则为0，代表题目的规则.1为+，0为- 
			count+=p[j][t-j+1];
		}
		Backtrack(t+1);
			for (int j=2;j<=t;j++)
			count-=p[j][t-j+1];
				count-=i;
	}
}


void Triangle::triangleSolve() 
{ 
	if(n*(n+1)/2%2==0) 
	{ 
		Backtrack(1); 
		display(); 
	}else { 
		cout<<"不存在可能性"<<endl; 
		return; 
	} 
} 
void Triangle::display() 
{ 
	cout<<"边长为"<<n<<"的情况下，一共有"<<sum<<"种符号三角形具有同等数量的+与-号"<<endl; 
} 

int main() { 
	int n;
		cout<<"请输入第一行符号的数量n,[n*(n+1)整除4]:";
		cin>>n;
		Triangle test(n);//设置第一行有7个符号 
		test.triangleSolve();//解决问题 
			return 0;
}