跳表

有序表的搜索

考虑一个有序表： 
 
从该有序表中搜索元素 < 23, 43, 59 > ，需要比较的次数分别为 < 2, 4, 6 >，总共比较的次数为 2 + 4 + 6 = 12 次。有没有优化的算法吗? 链表是有序的，但不能使用二分查找。类似二叉搜索树，我们把一些节点提取出来，作为索引。得到如下结构：

提取出来作为一级索引，这样搜索的时候就可以减少比较次数了。 
我们还可以再从一级索引提取一些元素出来，作为二级索引，三级索引… 
 
这里元素不多，体现不出优势，如果元素足够多，这种索引结构就能体现出优势来了。

跳表

下面的结构是就是跳表： 
其中 -1 表示 INT_MIN， 链表的最小值，1 表示 INT_MAX，链表的最大值。

跳表具有如下性质： 
(1) 由很多层结构组成 
(2) 每一层都是一个有序的链表 
(3) 最底层(Level 1)的链表包含所有元素 
(4) 如果一个元素出现在 Level i 的链表中，则它在 Level i 之下的链表也都会出现。 
(5) 每个节点包含两个指针，一个指向同一链表中的下一个元素，一个指向下面一层的元素。

跳表的搜索

例子：查找元素 117 
(1) 比较 21， 比 21 大，往后面找 
(2) 比较 37, 比 37大，比链表最大值小，从 37 的下面一层开始找 
(3) 比较 71, 比 71 大，比链表最大值小，从 71 的下面一层开始找 
(4) 比较 85， 比 85 大，从后面找 
(5) 比较 117， 等于 117， 找到了节点。

具体的搜索算法如下：

/* 如果存在 x, 返回 x 所在的节点， 
 * 否则返回 x 的后继节点 */  
find(x)   
{  
    p = top;  
    while (1) {  
        while (p->next->key < x)  
            p = p->next;  
        if (p->down == NULL)   
            return p->next;  
        p = p->down;  
    }  
}  

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跳表的插入

先确定该元素要占据的层数 K（采用丢硬币的方式，这完全是随机的） 
然后在 Level 1 … Level K 各个层的链表都插入元素。 
例子：插入 119， K = 2 

如果 K 大于链表的层数，则要添加新的层。 
例子：插入 119， K = 4

丢硬币决定 K 
插入元素的时候，元素所占有的层数完全是随机的，通过一下随机算法产生：

int random_level()  
{  
    K = 1;  

    while (random(0,1))  
        K++;  

    return K;  
}  

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相当与做一次丢硬币的实验，如果遇到正面，继续丢，遇到反面，则停止， 
用实验中丢硬币的次数 K 作为元素占有的层数。显然随机变量 K 满足参数为 p = 1/2 的几何分布， 
K 的期望值 E[K] = 1/p = 2. 就是说，各个元素的层数，期望值是 2 层。

跳表的高度。 
n 个元素的跳表，每个元素插入的时候都要做一次实验，用来决定元素占据的层数 K， 
跳表的高度等于这 n 次实验中产生的最大 K，待续。。。

跳表的空间复杂度分析 
根据上面的分析，每个元素的期望高度为 2， 一个大小为 n 的跳表，其节点数目的 
期望值是 2n。

跳表的删除

在各个层中找到包含 x 的节点，使用标准的 delete from list 方法删除该节点。 
例子：删除 71